《勾股定理》說(shuō)課設(shè)計(jì)

安徽省阜陽(yáng)市第十五中學(xué) 陳景濤

一、教材分析

1.教材的地位與作用

《勾股定理》是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章的起始課，它是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。

本節(jié)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)九（下）解直角三角形有著重要的思維潤(rùn)滑作用。勾股定理被喻為數(shù)形結(jié)合的第一定理，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中有著非常重要的作用（如它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)被發(fā)現(xiàn)）。本節(jié)是對(duì)直角三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解，它在整個(gè)第三學(xué)段乃至整個(gè)知識(shí)體系中起著非常重要的作用。

2.教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：能說(shuō)出勾股定理的內(nèi)容，并能用勾股定理解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)思考：在勾股定理的探索過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

解決問(wèn)題：①通過(guò)拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。②在活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過(guò)程和探索的結(jié)果。

情感態(tài)度：①通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。②培養(yǎng)學(xué)生傾聽(tīng)、感悟的欣賞意識(shí)，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)探索的自信及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

3教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：勾股定理的證明和初步應(yīng)用。

難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理。

二、學(xué)情分析

一方面，之前學(xué)生學(xué)習(xí)直角三角形的有關(guān)性質(zhì)及正方形面積算法，已有了相當(dāng)豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備，具備了一定的獨(dú)立思考能力和探究能力，而且他們思維活躍，樂(lè)于展示，勇于創(chuàng)新。這將是我成功探究新課的優(yōu)勢(shì)。另一方面，八年級(jí)學(xué)生還是以感性認(rèn)識(shí)為主，并向理性認(rèn)識(shí)過(guò)渡，所以我對(duì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了觀察、實(shí)驗(yàn)、操作（畫(huà)、量、算）等多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生采用自主探索和合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式。此外，學(xué)生缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰爸R(shí)的綜合應(yīng)用能力，教學(xué)中要引起足夠重視。

三、教法、學(xué)法

1.教學(xué)方法

教育家皮亞杰說(shuō)過(guò)教師的工作不是教給學(xué)生什么，而是著力構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，并用種種方法刺激學(xué)生的求知欲。結(jié)合學(xué)情，我主要采用了引導(dǎo)探究式教學(xué)方法，先由淺入深，由特殊到一般地提出問(wèn)題，接著引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證，在學(xué)生的自主探究、合作交流中解決問(wèn)題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引領(lǐng)者和合作者”的教學(xué)理念。

2.學(xué)法指導(dǎo)

“操作+思考”的方式符合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，適應(yīng)其思維發(fā)展規(guī)律及心理特征，本節(jié)充分發(fā)揮教師學(xué)生的“雙主”作用，通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，主動(dòng)探索獲得新知，進(jìn)一步理解運(yùn)用歸納猜想，由特殊到一般，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。同時(shí)讓學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最好方法是自己去探究。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）教學(xué)熱身運(yùn)動(dòng)

1.三角形三邊關(guān)系：兩邊之和第三邊，兩邊之差第三邊。直角三角形三邊滿足這個(gè)關(guān)系嗎？

2.你知道哪些有關(guān)直角三角形的知識(shí)？

3.你能給同伴提出一個(gè)有關(guān)直角三角形的問(wèn)題，并讓其作答嗎？

“興趣是最好的老師”，可見(jiàn)興趣是影響教學(xué)效果的重要因素。如何在課的一開(kāi)始就深深地吸引學(xué)生呢？我的體會(huì)是：讓學(xué)生“在玩中做，在做中玩”。這里的“抽簽”不僅拉近了師生之間情感交流距離，也為探究新知鋪平了道路。特別是第三個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，這是我有意架設(shè)的“橋梁”，我會(huì)根據(jù)情形，將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引入新課。

（二）問(wèn)題情境導(dǎo)入

這一環(huán)節(jié)我是這樣的預(yù)設(shè)的：利用多媒體資源制作了聲音、圖像，動(dòng)畫(huà)三位一體的幻燈片。（今天，人類(lèi)為了尋求與“外星人”接觸的可能性，已向太空發(fā)射了一批物件，其中包括地球人男女形象，各種物質(zhì)和元素符號(hào)，而數(shù)學(xué)家華羅庚提出了一種新穎的獨(dú)特設(shè)想：用數(shù)形關(guān)系向宇宙發(fā)出邀請(qǐng)……）順勢(shì)問(wèn)學(xué)生：你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？你聽(tīng)說(shuō)過(guò)勾股定理嗎？讓我們沿著一位哲學(xué)家的足跡來(lái)探索。

教師是教學(xué)情景的設(shè)計(jì)者，好的情景往往可收到事半功倍的效果。這樣設(shè)計(jì)，學(xué)生的胃口顯然已被調(diào)起來(lái)了，接下來(lái)便可進(jìn)行新課探究。

（三）享受探究樂(lè)趣

此環(huán)節(jié)是教學(xué)過(guò)程的重心，目標(biāo)的落實(shí)、重難點(diǎn)突破、課堂的和諧度都將在此展現(xiàn)。為此，我設(shè)計(jì)了一些探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“探究—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

1.觀察：等腰直角三角形三邊關(guān)系

這里通過(guò)把畢達(dá)哥拉斯的地磚問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將生活圖形數(shù)學(xué)化。利用圖形，學(xué)生通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)或者用割補(bǔ)的方法將正方形A、B中小等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形。學(xué)生易發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的面積之間的數(shù)量關(guān)系：。然后啟發(fā)學(xué)生用三角形的邊表示面積，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：等腰直角三角形的三邊滿足“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。從低起點(diǎn)的問(wèn)題入手，這樣做有利于學(xué)生參與探索，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)成功的快感。

2.探究：一般的直角三角形三邊關(guān)系

等腰直角三角形有上述關(guān)系，一般的呢？（這樣設(shè)疑突破了等腰直角三角形的狹小圈子，讓問(wèn)題趨于一般化，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)以上關(guān)系的認(rèn)同感，為后面的勾股定理的現(xiàn)身提供了探索導(dǎo)向）

我把學(xué)生分成兩大組，讓學(xué)生利用網(wǎng)格紙計(jì)算以直角邊為2、3和3、4的直角三角形向形外作的三個(gè)正方形的面積。

此時(shí)以斜邊為邊的正方形面積求法是本節(jié)課的難點(diǎn)所在，難點(diǎn)處正是學(xué)生互相學(xué)習(xí)，充分交流思維的好時(shí)機(jī)。（探索中學(xué)生可能出現(xiàn)以下困難：①確定斜面邊上正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)；②以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積計(jì)算。針對(duì)①，建議學(xué)生用圓規(guī)、直尺作圖尋求；對(duì)于②，則引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比等腰直角三角形的探究方法去解決。）

在此要給學(xué)生充分自主探索的時(shí)間與空間，學(xué)生思維的閃光點(diǎn)也正是在這種討論的過(guò)程中被發(fā)現(xiàn)的。對(duì)于學(xué)生的計(jì)算方法，教師在參與學(xué)生活動(dòng)中適時(shí)鼓勵(lì)、肯定、糾正。學(xué)生充分交流后，兩組同學(xué)推薦代表匯報(bào)計(jì)算結(jié)果。預(yù)設(shè)：學(xué)生將展示割（圖1）、補(bǔ)（圖2）、

圖2

圖1

圖3

圖4

平移（圖3）、旋轉(zhuǎn)（圖4）四種方法。旋轉(zhuǎn)這種方法只適用于斜邊為整數(shù)的情況，況且學(xué)生還不會(huì)計(jì)算斜邊長(zhǎng)，沒(méi)有一般性，若有學(xué)生提出，應(yīng)給學(xué)生以解釋。

肯定學(xué)生的研究成果，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：把圖形進(jìn)行“割”和“補(bǔ)”，即把不能利用網(wǎng)格線直接計(jì)算面積的圖形轉(zhuǎn)化成可以利用網(wǎng)格線直接計(jì)算面積的圖形，讓學(xué)生體會(huì)化歸的思想。

3.猜想：命題1

經(jīng)歷以上數(shù)學(xué)活動(dòng)，我們利用面積關(guān)系揭示出直角三角形三邊之間關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用命題形式怎樣表述？

命題1：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么。（這一問(wèn)題的結(jié)論是點(diǎn)睛之筆，應(yīng)充分讓學(xué)生交流、表達(dá)）

4.利用拼圖驗(yàn)證猜想

猜想是逼近結(jié)論的關(guān)鍵一步。是否所有的直角三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？我們?nèi)绾悟?yàn)證任意三角形三邊也滿足這個(gè)關(guān)系呢？

在探索定理的過(guò)程中，按從網(wǎng)格到脫離網(wǎng)絡(luò)的序列進(jìn)行，對(duì)學(xué)生而言是思維的完善和飛躍，利用弦圖證明勾股定理，不但拓展了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，而且使學(xué)生感受到勾股定理證明的博大精深。

組織學(xué)生利用手中的學(xué)具（邊長(zhǎng)分別為a、b的兩個(gè)連體正方形紙片），進(jìn)行拼圖活動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是：我們引導(dǎo)學(xué)生拼圖的關(guān)鍵是“構(gòu)造以a、b為直角邊的直角三角形”。若有學(xué)生盲目動(dòng)手，如沿正方形對(duì)角線分割等，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自我反思、校正，在不斷摸索中找到解決問(wèn)題的辦法。對(duì)于“剪切點(diǎn)”的確定是學(xué)生操作的難點(diǎn)，根據(jù)情況可建議學(xué)生：通過(guò)折疊，讓大正方形的左上角頂點(diǎn)（A）和連體圖形中的小正方形的右下角頂點(diǎn)（N）重合，折痕與MN的交點(diǎn)，即為“剪切點(diǎn)”（如右圖所示）。剪拼操作后，學(xué)生容易想到：未剪之前，圖形面積是a2+ b2，在拼圖過(guò)程中，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，得到斜邊為c。拼接之后新的正方形邊長(zhǎng)是c ，面積為c2。從而得到直角三角形三邊的關(guān)系：a2+b2=c2。

通過(guò)拼圖活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家思維方式和思維過(guò)程，再通過(guò)動(dòng)手操作和演示確信結(jié)論的正確性，然后利用“弦圖”借助面積關(guān)系、代數(shù)公式給出證明，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。

5.得出結(jié)論：勾股定理

這一環(huán)節(jié)是本節(jié)從感性到理性的具體體現(xiàn)。它是前面數(shù)學(xué)活動(dòng)的深化和提升。對(duì)于定理的概念教學(xué)和“勾股”的釋義，我采取適時(shí)點(diǎn)撥的做法：

（1）定理：經(jīng)過(guò)證明被確定為正確的命題稱(chēng)為定理。

（2）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理用“文字”和“符號(hào)”兩種語(yǔ)言表示，并熟悉定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變形。

6.“勾股世界”和“身邊的勾股”

結(jié)合我校學(xué)生實(shí)際，我預(yù)設(shè)了“勾股世界”和“身邊的勾股”。

（1）播放音頻資料“勾股世界”。

（2）引導(dǎo)學(xué)生舉例“身邊的勾股”（如課本封面、十五中標(biāo)志圖、章前圖等）。

（這樣設(shè)計(jì)意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和愛(ài)國(guó)主義情感，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)就在身邊，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)生活化”思想）

至此，在學(xué)生動(dòng)手操作，自主探究、合作交流的活動(dòng)中，驗(yàn)證了勾股定理，本節(jié)重難點(diǎn)自然就得以突破了。

（四）乘坐智慧快車(chē)

學(xué)以致用，下面我邀請(qǐng)大家“乘坐智慧快車(chē)”嘗試解決問(wèn)題。這一環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)的問(wèn)題是呈階梯狀的練習(xí)：先是較基礎(chǔ)的理解性練習(xí)，再是拓廣型的應(yīng)用性練習(xí)。俗話說(shuō)：“授之以魚(yú)，不如授之以漁。”兩類(lèi)練習(xí)之間我設(shè)計(jì)了一個(gè)“溫馨提示”，既是對(duì)理解性練習(xí)的小結(jié)以及應(yīng)用勾股定理注意事項(xiàng)的提醒，也為“拓廣應(yīng)用”作出了思路點(diǎn)撥，可謂承上啟下，一箭雙雕。

學(xué)生的個(gè)人知識(shí)、直接經(jīng)驗(yàn)、生活世界都是重要的課程資源。因此，我這里選取的多是貼近學(xué)生生活的實(shí)例，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中體會(huì)成功的喜悅，進(jìn)一步體會(huì)勾股定理的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

（五）分享你我收獲

通過(guò)學(xué)習(xí)你有什么收獲呢？

1.這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

2.你還有什么疑惑？

（學(xué)生一般臨近下課，大腦處于疲勞狀態(tài)，注意力開(kāi)始有所分散，此舉可將學(xué)生興奮心理再度點(diǎn)燃）

通過(guò)談收獲：①可培養(yǎng)學(xué)生歸納和語(yǔ)言表達(dá)能力。②讓學(xué)生談收獲教師回收到的不僅有知識(shí)技能達(dá)成情況，還有過(guò)程體驗(yàn)、數(shù)學(xué)思考，解決問(wèn)題、情感態(tài)度的形成情況。

（六）開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)天地

作業(yè)第一題面向全體學(xué)生要求，第二題根據(jù)彈性時(shí)間的盈余決定安排在課內(nèi)或課外。

新課程強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力，用課堂紀(jì)實(shí)給學(xué)生提供了一種表達(dá)思想和情感的方式，以體現(xiàn)評(píng)價(jià)體系的多元化、人文化。

課外探索的設(shè)計(jì)有利于激發(fā)學(xué)生的探索欲、求知欲。同時(shí)讓數(shù)學(xué)課堂因探究而繼續(xù)延伸和精彩下去。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

我結(jié)合實(shí)際，從學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的“外星問(wèn)題”導(dǎo)入，以學(xué)生熟悉的事物（如校園內(nèi)的草坪、十五中標(biāo)志圖、課本封面）為“佐料”，整合利用教學(xué)資源，有序組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，力求本節(jié)數(shù)學(xué)課成為動(dòng)態(tài)的知識(shí)生成過(guò)程，成為學(xué)生主動(dòng)探索求知的過(guò)程。自始至終，做到關(guān)注學(xué)生個(gè)性發(fā)展，貫徹“以人為本”的科學(xué)教育觀。回顧整節(jié)課，我從“活動(dòng)”和“評(píng)價(jià)”兩個(gè)方面再作如下說(shuō)明。

關(guān)于活動(dòng)安排：通過(guò)“問(wèn)題情境”和“媒體演示”激發(fā)學(xué)生的興趣，吸引學(xué)生參與活動(dòng);通過(guò)探究活動(dòng)、說(shuō)說(shuō)心里話，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)，通過(guò)“乘坐智慧快車(chē)”促進(jìn)學(xué)生參與活動(dòng)。

關(guān)于評(píng)價(jià)：在教學(xué)活動(dòng)中，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行即興評(píng)價(jià)；在“課堂紀(jì)實(shí)”中，安排多維評(píng)價(jià)，用以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力。用“課堂紀(jì)實(shí)”給學(xué)生提供了一種表達(dá)思想和情感的方式，以體現(xiàn)評(píng)價(jià)體系的多元化、人文化。