例談APOS理論指導下的兒童數學“問題解決”能力的培養
——《三角形的內角和》為例

江蘇省常熟市石梅小學 陸 瑜

近年來，數學素養的培養被數學教育界積極提倡。數學素養通常是在人們與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略。而人們所遇到的問題可以是數學問題，也可能不是明顯的和直接的數學問題，從數學的角度看待問題，用數學的思維方法思考問題，用數學的方法解決問題是具備數學素養的良好表現。可以說，培養學習者“問題解決”的能力，是提升數學素養中的重要部分！

一、意義解讀：APOS理論下兒童問題解決能力的挖掘

美國的杜賓斯基等人在數學教育研究實踐中提出了APOS理論，這一建構過程要經歷以下四個階段：

Action（活動）階段是指學生參與活動，親身體驗、感受直觀的問題背景和各個概念之間的聯系。

Process（過程）階段是指學生對“活動”進行思考，抽象出概念所特有的性質。

Object（對象）階段是通過前面的抽象認識到概念的本質。

Stcheme（圖式）階段是指建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系，形成綜合的心理圖式。

APOS理論它特有的數學內容，對教師提升兒童“問題解決”的能力給出了有力的參考！

二、實踐磨礪：APOS理論指導下的兒童數學“問題解決”能力培養的策略

APOS理論指出數學活動是學生認識理解數學的一個必要條件，把數學的形式化邏輯鏈條，恢復為當初數學家發明創新時火熱思考。

（一）Action（活動）中，給予兒童豐滿的問題解決的經歷

1.問題解決中，兒童體驗“問題生成”

“問題”從哪里來？讓兒童體驗問題的生成是兒童經歷數學信息的梳理、甄別、篩選的一個實在過程，這樣產生的問題能讓兒童更加主動和倍感到鮮活！

（1）兒童體驗“問題生成”于數學直覺思維中

直覺思維是人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。科學家凱德洛夫明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動。”

【片段1】

師：誰來指一指這個三角形（銳角三角形）的內角？這兩個呢（直角、鈍角三角形）？

師：三角形的三個內角里隱藏著什么奧秘呢？大家想不想來研究？（想）

師：你覺得我們從哪種三角形開始研究比較容易？

生：有直角的三角形。

師：好的，那我們就來試一試。

雖然學生還沒有學習三角形的分類，但直覺認為從“含有直角的三角形”開始研究會容易些。教師對合理成分及時鼓勵，利用好這種自發性直覺思維，能讓兒童對自己的直覺更加自信，有利于兒童對數學問題的整體感知和問題的生成。

（2）兒童體驗“問題生成”于經驗的喚醒中

【片段2】

師：這是我們身邊常用的三角尺，這把三角尺的內角分別是幾度？內角和是多少？（90°+45°+45°=180°）

師：（出示：大三角尺）那這把呢？這兩把三角尺形狀相同，大小不同，內角和呢？

三角尺大小不同，但內角和沒變。強烈的視覺對比，給學生帶來內在認識的撞擊，從已有的知識經驗出發，讓學生驚覺問題生成在了熟悉的知識點中，找到了問題的出處。

（3）兒童體驗“問題生成”于現象的歸納中

【片段3】

師：再換一把三角尺，它形狀變了，內角和呢？（90°+60°+30°=180°）

師：和剛才的兩把三角尺內角和相等嗎？

師：對這樣的現象，你有什么想說的？

生1：大小不同，形狀不一樣的三角形，內角和都是180°。

生2：含有直角的三角形內角和是180°。

研究三角形內角和，逐步加入了兩個變量（大小不同，形狀不同），教師啟發學生進行了歸納，從多個事件中，找到了共性，提出了猜想，最終形成了一個數學問題。

2.問題解決中，兒童經歷“數學思想”的“浸潤”

我們提出問題后，如何解決問題是極其重要的部分。而數學思想是解決問題策略的重要依托，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。

【片段4】

師：剛才，我們發現三角尺的內角和都是180°。那其他一般的

圖1

圖2

含有直角的三角形（圖1），它們的內角和又會是多少呢？

【片段5】

師：含有直角的三角形內角和是180°，那一般的沒有直角的三角形的內角和呢？（圖2）

在解決問題的過程中，兒童經歷的是數學問題思想化的過程，這里學生經歷了兩次特殊到一般的學習活動，由此及彼，逐步深入研究，分步擴張，完成了數學問題的研究。問題解決過程中，數學思想的浸潤是重要的環節，也是解決問題的精髓所在！

3.問題解決中，兒童感受“策略”的“多樣”

三角形內角和是180°的驗證怎么做？怎樣才能讓學生真正理解數學問題，螺旋上升為自身的認知結構。這時，策略多樣性能讓這樣的經歷更加豐滿，體驗更加多樣。

【片段6】

①操作驗證，所見即所得：主要通過量、拼、折、畫等方法，進行驗證。

②有限驗證和無限驗證：利用計算機來驗證更多的例子。

③演繹推理驗證：利用已經研究得到的結論，含有直角三角形的內角和是180度，來論證一般的沒有直角的三角形內角和。

這一序列的 Action（活動）中，策略的多樣，讓學生多了一些探索和討論，引領著兒童在感受策略的提升和逐步嚴謹的過程中，走了向數學思維的更高領域。

（二）Process（過程）、Object（對象），成就兒童“問題解決”的能力的蛻變

在Process（過程）、Object（對象）中，致力于讓兒童對“活動”進行思考，經歷概括內化、過程、反思，抽象出概念所特有的性質，將其“壓縮”成為一個思維中的具體對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動。

1.及時梳理，兒童對單個活動的反思

【片段7】

師：同學們，剛才我們是怎樣探索和發現含有直角的三角形內角和是180°的？

生1：我們先發現三角尺的內角和都是180°。

生2：先猜想，一般的含有直角的三角形內角和是180°，再進行驗證。

師：是的，現在我們可以說，任意一個含有直角的三角形，內角和都是180°。

2.歸納整理，兒童對多個活動的概括

【片段8】

師：剛才我們發現含有直角的三角形內角和是多少度？（180°），沒有直角的三角形，也是？（180°）

師：那三角形的內角和是多少嗎？說說你的想法。（180°）

師：（指板書）得出這個結論，我們從特殊到一般，先猜想再驗證，想到了好多種方法來探索，學習數學就應該這樣！

學生研究了兩個板塊的問題：（1）含有直角的三角形；（2）沒有直角的三角形，這兩個板塊的內容歸結在一起，從研究的板塊走向整體的建構。將過程推向對象，即壓縮為思維中的具體對象，反思與概括是壓縮過程中必不可少的催化劑，同時也能讓兒童更好地明確研究問題的步驟與方法，有利于從整體上把握方法與結論。

（三）Stcheme（圖式），幫助兒童主動構建心理圖式

數學作為一種知識體系，學習者只有將這個新生的“對象”加入到原有的知識結構中，點點相連成線，線線相關成面，才能在頭腦中形成綜合的心理圖式，達到對數學內在本質的認識。

如：將三角形的內角和與長方形的內角和、正方形的內角和，其他多邊形的內角和聯系在一起，形成網絡關系圖。

教無定法，教師關注兒童問題解決能力的培養，遵循兒童身心發展規律，依托兒童已有經驗，依據有力的教學教育的理論支持，期待教育者帶領著兒童去感知和經歷這樣一個美好的，火熱的問題產生、解決、反思的過程！