巧用因式分解求最值

河北定州中學(xué) 陳淑紅 王勝男

“中學(xué)生數(shù)學(xué)”2017年9月上旬刊，刊登了文章《基本不等式的應(yīng)用》《1的代換在不等式問題中的應(yīng)用》，文章系統(tǒng)分析了利用基本不等式求最值的方法：配湊法、消元法、“1”的代換、換元法。

但當(dāng)題目中涉及二次式或分式的時(shí)候，上述方法不容易直接使用，本文分別從二次式和分子式入手，巧用分解因式轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值得方法。

一、二次式中分解因式

1.分解因式轉(zhuǎn)化為積或和為定值

2.配成完全平方式，轉(zhuǎn)化為不等式的解

小結(jié)：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)前提是“一正、二定、三相等”。配湊法是根據(jù)把條件配成結(jié)論的形式，利用基本不等式解以結(jié)論為變量的不等式得最值。

二、分式中因式分解

小結(jié)：條件最值的求解可用換元法，或者把條件適當(dāng)因式分解，重新構(gòu)造兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，可以使問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的題型，利用基本不等式求最值。