談概率論中的反例教學

董留栓 霍振宏

【摘要】概率論中的反例是加深學生對概念、定理及性質理解的重要手段，能幫助學生記牢所學知識，提高思維創新能力。本文從反例對概念的理解，幫助公式的學習，糾正學習中的錯誤，培養學生的創新能力四個方面做了詳細的分析。

【關鍵詞】反例 概率論 教學 創新能力

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0116-02

概率論是研究隨機現象統計規律性的數學分支，它是學習數理統計的基礎，它理論性強、應用廣泛。是高等學校工科及經管類專業的一門基礎必修課，同時也是考研的一門必考課。在課堂教學中，教師正面講述概念，直接證明或給出性質，學生往往不易接受，若教師運用反例教學會對學生知識的理解與掌握方面幫助很大，它可以加深學生對概念及性質的理解與應用，達到事半功倍的效果。

反例就是要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論。反例是推翻一個假命題的最有效手段。學生通過舉出一個反例，可以獲得成就感，即可以培養學生的學習興趣，也可以培養學生的創新能力。

一、反例可以加深學生對概念的理解

概率論中的有些概念比較抽象，正面不易理解，有時學生會摸不著頭腦，這樣就影響學生的學習效果。巧妙設置反例可以彌補教學中的不足，可以加深學生對基本概念的理解。

例如：概率為0的事件不一定是不可能事件。多數學生易用古典概型知識理解概率為0的事件是不可能事件，但在幾何概型中“概率為0的事件不一定是不可能事件”。

如在幾何概率中，設Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，A={（x，y）|x=y，0≤x，y≤1}則P（A）= = =0（A，Ω為面積），可見事件A是可能發生的。學習了連續型隨機變量知識后，我們知道連續型隨機變量在某個點取值的概率為0，從而也說明了概率為0的事件不一定是不可能事件。

二、反例可以幫助學生學習公式

由于概率論中的公式很多，學生在使用公式時，若不注意公式的使用條件，極易得到錯誤的結論。教師課堂教學時除了正面講解公式外，還應多舉些反例（也可以讓學生舉例）以幫助學生加深對公式的理解與掌握。

例如，二維隨機變量X與Y相互獨立，則E（XY）=E（X） E（Y）。反之結論未必成立。如： 二維隨機變量（X，Y）的聯合密度函數f（x，y）= ，x2+y2≤1 0，其它，易求得：

E（XY）= xy· dxdy= x（ ydy）dx=0，

E（X）= x· dxdy=0，E（Y）= y· dxdy=0

因此，有E（XY）=E（X）·E（Y）

又當-1≤x≤1時，fX（x）= f（x，y）dy= dy

=

故fX（x）= ，-1≤x≤1 0，其它，同理得

fY（y）= ，-1≤y≤1 0，其它

因f（x，y）≠fX（x）·fY（y），所以X與Y不相互獨立。

又如，若事件A，B滿足A？奐B，則P（A）≤P（B），反之不真。

例如，設P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（A∪B）=0.2

由P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）得P（AB）=0.1，

故P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0

由概率為0的事件不一定是不可能事件，這意味著可有A-AB≠？準，從而未必有A？奐B。

三、反例有利于發現和糾正學習中出現的錯誤

在辨析錯誤時，由于反例具有很強的說服力，所以在教學中學生可以舉反例獲得正確的結論。

例如，設有4張形狀、大小、質量完全一樣的卡片上面分別寫有數字112，121，211，222。現從4張卡片中任抽一張，以隨機變量X，Y，Z分別表示抽到卡片上的第一、二、三位數字，則 P{X=1}=P{Y=1}=P{Z=1}= ，

P{X=1，Y=1}=P{Y=1，Z=1}=P{Z=1，X=1}=

故X，Y，Z兩兩獨立，但P{X=1，Y=1，Z=1}=0≠ =P{X=1}P{Y=1}P{Z=1}故X，Y，Z不相互獨立。

又如，設有一均勻正八面體，其第1，2，3，4面涂紅色，第1，2，3，5面涂黃色，第1，6，7，8面涂藍色，現以A，B，C分別表示投正八面體一次，底面出現紅，黃，藍顏色的事件，則P（A）=P（B）=P（C）= ，P（ABC）= =P（A）P（B）P（C），而P（AB）= ≠ =P（A）P（B），P（AC）= ≠ =P（A）P（C），P（BC）= ≠ =P（B）P（C），故A，B，C不兩兩獨立。

即由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能得到A，B，C兩兩相互獨立的結論。

四、反例教學有利于培養學生的創新能力

概率論教學中，反例的教學對培養學生的思維嚴謹性與批判性方面非常重要。在教學中教師要引導學生自己構造反例，培養學生獨立思考善于動腦的好習慣，為以后專業課的學習提供很好的借鑒方法。提出反例需要學生要有扎實的基礎知識，靈活運用公式的能力及善于思考獨立解決問題的能力。這對學生提出了更高的學習要求。

例如，是否存在既非離散型又非連續型的分布函數？

如F（x）=0 x<0 0≤x<11 x≥1，由分布函數的定義可知F（x）是分布函數，由于F（x）對應隨機變量取值不是有限個或可列多個，故F（x）不是離散型隨機變量，又因為F（x）在x=0不連續，所以F（x）不是連續性隨機變量，即存在既不離散又不連續的分布函數。

總之，學生在學習概率論時，要注意區別概念、區別原理，在概念的理解與原理的應用上下功夫。對知識的理解上多反問自己，善于舉反例，只有這樣才能弄清概念及性質以達到靈活應用的目的。

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作者簡介：

董留栓（1971-），男，漢族，河南鄭州人，中原工學院信息商務學院副教授，講師，碩士學位，研究方向：群論與代數圖論。

霍振宏（1963-），男，河南鄭州人，中原工學院理學院副教授。