深入研究Taylor公式及其應用

殷月竹　許峰

摘 要 文章首先強調了Taylor公式的重要性，接著深入討論了Taylor公式的條件與形式、余項的階等問題，然后詳細探討了Taylor公式的廣泛應用，尤其是結合典型例題對如何靈活利用Taylor公式來證明不等式做了細致的分析和總結，給出了一些方法和技巧。

關鍵詞 Taylor公式 應用 不等式證明

中圖分類號：O242 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.07.021

In-depth Study of Taylor Formula and its Application

YIN Yuezhu， XU Feng

（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001）

Abstract Firstly， the importance of the Taylor formula is emphasized. Then the conditions and forms of the Taylor formula and the order of the remainder are discussed in detail. Then， the wide application of the Taylor formula is discussed in detail. In particular， the typical example is used to prove how to flexibly use the Taylor formula. Inequality has been carefully analyzed and summarized， and some methods and techniques have been given.

Keywords Taylor formula； application； proof of inequality

Taylor公式是高等數學中一個不可忽視的重要內容，因為它不僅在理論上占有重要的地位，而且在實際工程和計算數學中也有著廣泛的應用，毫不夸張地講，Taylor公式是高數中最有應用價值的工具之一。但幾乎所有的高數教材對這一部分內容都講得不夠全面，也不夠深刻，這使得學生學習起來有許多的困惑。本文就Taylor公式的條件與形式、余項的階、應用等方面做一深入的研究和探討。

1 Taylor公式的條件與形式

要利用Taylor公式，首先要透徹理解Taylor公式的條件與形式。Taylor公式有兩種常用的形式：[1-2]

①若函數在點處的某鄰域內有階導數，則對該鄰域內任意異于點的， 有

其中，，稱為皮亞諾型余項。

②若函數在上有階連續導數，在（）內有階導數，則對、，至少存在一點，使得

其中，，稱之為拉格朗日型余項。

公式（1） 、（2）均被稱為函數在點處的階Taylor公式。顯然，這兩公式的條件不同，余項的形式也不同。

2 Taylor公式余項的階

這是一個讓許多學生、部分老師都感到困惑且極易犯錯誤的問題。比如，在目前最為暢銷的李永樂主編的“考研數學復習全書”中，先后出現下列Taylor公式：

①

②

這兩個公式嚴格來說都是錯誤的！我們以①為例解釋來錯誤的原因。因為arctan 在處的偶數階導數為0，所以①式應理解為arctan 的6階Taylor公式，余項應為。事實上，也可通過計算極限來嚴格地驗證：

所以，嚴格地講①式是錯誤的。同理，②式也是有問題的，正確的余項應為。

3 Taylor公式的應用

Taylor公式的應用極為廣泛，比如求極限、證明不等式、求函數在某點處的高階導數、證明某些重要結論、近似計算、判定交錯級數的斂散性等。[3，4]

證明不等式是Taylor公式的一個重要應用，但這需要較高的技巧，大多數學生感到無從下手，不容易想到解題思路。事實上，在有關證明不等式的題目中，若題設中明確告知函數“具有二階或二階以上的導數且有界”等條件，那么我們一般可以考慮用泰勒公式來證明它。下面結合兩個典型例題來進行具體分析。

例1 設函數在區間上二階連續可導，且，證明：，其中。

分析：該題中顯然滿足Taylor公式的條件，且告訴二階導數的最大值即有界，又給出了一點，所以可將在該點處泰勒展開。

證明：記，將在點處展開，得

，其中在與之間，又因為

故。

對上式在區間求定積分，并取絕對值有

即有 成立。

小結：利用Taylor公式證明不等式，關鍵在于找到在哪一點進行Taylor展開。

例2 設函數在閉區間[0，1]上二階可導，且，，證明：

分析：題中亦滿足Taylor公式的條件，又已知，在Taylor公式中分別取，將在點處展開，然后兩式相加就有可能得到要證明的不等式。

證明：利用Taylor公式，將在點處展開，得

其中，將已知代入上兩式，并將兩式相加整理得

通過以上典型例題可以看出，利用Taylor公式證明不等式，首先要驗證題設條件是否滿足Taylor公式，再結合題目的具體特點，分析確定在哪一點進行Taylor展開，這是解題的關鍵。其具體證明過程可總結為以下三個基本步驟：（1）寫出比題中所給函數的最高階導數低一階的Taylor展開式；（2）恰當選取Taylor展開式兩邊的與0；（3）據題中所給函數的最高階導數的值或界作適當的放縮。另外，有時不能單憑Taylor公式，還要結合其它知識綜合運用才能解決問題；只有多做多思，才能靈活運用。

基金項目： 安徽省教學研究重點項目“基于網絡教學平臺的公共數學課教學與考試模式的研究”

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001.

[2] 朱士信，唐爍.高等數學（上）[M].高等教育出版社，2014.

[3] 苗文靜，王昕.關于泰勒公式及其應用的思考與討論[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2013.29（5）：18-21.

[4] 范臣君.泰勒公式在判定交錯級數斂散性中的應用[J].貴州大學學報（自然版），2013.30（6）：17-18.