特殊條件下矩陣特征值判定問題的討論

摘 要：本文針對學生在《高等代數》課程學習過程中遇到的一類問題，即利用矩陣多項式為零去判定矩陣的特征值和特征值的重數問題。首先利用已有的一些定理給出了特殊情形下的一個結論，然后利用三個逐漸增加條件的例子說明在判定過程中需要我們合理結合題目給出的每一個條件利用所學知識進行解決。

關鍵詞：特征值；特征向量；矩陣

在《高等代數》課程的教學過程中，遇到了很多利用矩陣多項式為零的條件去推斷矩陣特征值的問題，看上去類似的題目確有不同的結果。學生經常無法分辨多項式的若干根中哪些是矩陣的特征值哪些不是，以及在確定了特征值之后如何確定其重數。本文將針對這一問題給出自己的一些想法。首先我們給出一些已有的結論。

定理1 設A是n階方陣，λ是A的特征值，α是A屬于特征值λ的一個特征向量，f（x）是一個多項式，則f（λ）是f（A）的特征值。

定理2 相似矩陣具有相同的特征值多項式。

定理3 實對稱矩陣的k重特征值恰好有k個線性無關的特征向量。

由定理1可得下面推論：

推論 設A是n階方陣，λ是A的特征值，α是A屬于特征值λ的一個特征向量，f（x）是一個多項式，若f（A）=O，則f（λ）=0。

由上述推論得到下面非常重要的結論：

結論1 對于n階方陣A而言，如果f（A）=O，那么A的所有特征值一定是多項式f（x）的根。

此結論告訴我們矩陣的特征值一定為多項式的根，但沒有告訴我們哪些根是矩陣的特征值，而這一點正是令很多同學困惑的地方。針對這類問題我們利用具體例子來解釋。

例1 設方陣A滿足A2=A，證明A的特征值只能是1或0。

分析 這道題目的答案是結論的直接結果，但無法確定A的具體特征值是1還是0。

例2 若矩陣A滿足A2=O，則A的特征值為0。

分析 由于方程x2=0只有唯一的實根0，而A的特征值一定是該方程的根，所以得到A的特征值為0。

由例2結合結論1，可以得到下面的結論：

結論2 對于滿足f（A）=O的n階方陣A而言，如果多項式f（x）有唯一的根，則此根必為矩陣的唯一特征值。

結論2解決了一種簡單情況，也就是當f（A）=O，多項式f（x）有唯一根的情況。但絕大多數的題目都比例2要復雜。下面我們再看其他一些情況。

例3 設A為3階非零矩陣，且滿足A2=A，證明：1一定為A的特征值。

解 由結論1可得，A的特征值為0或1。變形A2=A，得A（A-E）=O。由于R（A）+R（A-E）≤3，且A為非零矩陣，即R（A）≥1，于是R（A-E）≤2，從而|A-E|=0，得1一定為A的特征值。而0是否為A的特征值無法確定。

例4 設A是3階實矩陣，且R（A）=2，若A2=A，證明：0和1均為A的特征值，并判定其重數。

解 由結論1可得，A的特征值為0或1。由已知條件R（A）=2，再結合例3解題過程得|A|=0，且R（A-E）≤1，也即|A-E|=0，從而得到0和1均為A的特征值，且為A的所有特征值。由于A為3階方陣，所以0和1中有一個特征值為二重特征值。下面我們來確定哪個特征值為二重特征值。如果R（A-E）=0，則A=E，與R（A）=2矛盾，因此R（A-E）=1。這說明矩陣A對應于特征值1有兩個無關的特征向量，從而A可以對角化。由定理2得1為A的二重特征值。

例5 設A是3階實對稱矩陣，R（A）=2，若A2=A，證明：0和1均為A的特征值，并判定其重數。

解 由例4的證明過程得到0和1均為A的特征值，且為A的所有特征值。在判定哪個特征值為A的二重特征值時，可利用定理3得到1為二重特征值。

通過例1，3，4，5個例子的條件，我們可以看到題目給定條件越來越多，從判定結果來看，判定效果越來越好，所用知識越來越多。比較例1和例3，我們發現適當增加條件會影響特征值的確定；比較例3和例4可以看出，特征矩陣的秩在確定具體特征值和特征值的重數時會起到關鍵作用；比較例4和例5，我們看到實對稱矩陣相對于一般的實矩陣，在判定特征值的重數時會比較方便，主要原因是實對稱矩陣的性質比較好。綜上，對于本文要討論的問題，沒有統一的格式去判定每道題目的答案，具體問題具體對待。對于學生而言，如果想清晰利用f（A）=O來確定矩陣A的特征值及其重數，就要結合題目給的具體條件逐條檢查是否可以縮小判定的范圍，而這些有一個基本要求就是具有比較扎實的學習基礎，對于所學的知識能夠靈活運用。

參考文獻：

[1]劉麗.高等代數[M].成都：西南財經大學出版社，2014.

[2]蔣永泉.高等代數[M].鎮江：江蘇大學出版社，2013.

[3]白鳳蘭.高等代數[M].北京：清華大學出版社，2012.

作者簡介：

劉紅麗，浙江省杭州市，浙江財經大學數據科學學院。