淺析第一類換元積分法被積函數的特點

摘要：在多年的高職高等數學執教經歷中發現，不定積分的教學需要花費較長的時間，原因在于學生不容易理解和掌握求解方法，尤其是第一類換元積分法，究其根源在于沒有掌握被積函數的特點。本文著重分析了第一類換元積分法被積函數的特點，方便大家掌握第一類換元積分法。

關鍵詞：不定積分；第一類換元積分法；被積函數

微積分主要內容為微分和積分，積分有不定積分和定積分之分，在求解積分時，只要會求解不定積分，那定積分的求解就沒問題。不定積分的求解方法主要有直接積分法、第一類換元積分法（湊微分法）、第二類換元積分法和分部積分法。直接積分法是對被積函數化簡后直接套用積分公式求解積分的一種方法，比較簡單；第二類換元積分是直接換元求解積分的方法，比較容易掌握；分部積分被積函數特點明顯，有七種被積函數，但有的需要先湊微分。如此看來，第一類換元積分法（湊微分法）是不定積分教學內容的重點和難點。

在多年的高等數學教學中，筆者發現，要想掌握好第一類換元積分法就要理解和掌握被積函數的特點，本文著重分析了第一類換元積分法被積函數的特點。

一、 第一類換元積分法積分原理

定理設f（u）有原函數，u=φ（x）可導，則有換元公式

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du|u=φ（x）

即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）

=令u=φ（x）∫f（u）du（也稱湊微分法）

從定理中可以看出，被積函數是兩項的乘積且有導數關系，故當被積函數有以下特點時，可以考慮使用第一類換元積分法求解，即先湊微分后換元，再求解不定積分。

二、 第一類換元積分被積函數的特點

（一） 被積函數是一個函數乘本身的導數時，先用導數項湊微分，再換元。

【例1】求∫sinxcosxdx；

分析：在這一不定積分中，被積函數是兩項的乘積，且這兩項之間有導數關系：（sinx）′=cosx，滿足定理條件，所以可以先用cosx去湊微分，即cosxdx=dsinx，湊微分之后被積函數中還剩下sinx，剛好可以換元，然后套用基本積分公式求解不定積分。

解：∫sinxcosxdx=∫sinx（sinx）′dx=湊微分∫sinxdsinx=換元u=sinx∫udu=12u2+C=變量回代12sin2x+C。

（二） 被積函數是復合函數乘中間變量的導數時，先用導數項湊微分，再換元。

【例2】求∫ln2xxdx

分析：被積函數可以看成復合函數ln2x乘1x，且復合函數中間變量lnx的導數是1x，即（lnx）′=1x。兩項之間有導數關系，所以可以使用第一類換元法求解，先用導數項湊微分，然后換元，再求解不定積分。

解：∫ln2xxdx=∫ln2x·1xdx=∫ln2x·（lnx）′dx=湊微分∫ln2xdlnx=換元令u=lnx∫u2du=13u3+C=變量回代13ln3x+C。

（三） 當導數相差常數倍時，先用導數項湊微分后換元，再求解不定積分。

【例3】求∫1xsinxdx。

分析：被積函數是復合函數sinx乘1x，且復合函數中間變量x的導數為12x，即1x=2（x）′，則可以湊微分1xdx=2dx，故而可以使用第一類換元法求解該積分。此題的技巧在于先“湊齊”導數，導數相差多少倍便補齊多少倍，這樣方便后續解題步驟。

解：∵（x）′=12x，∴1x=2（x）′，則1xdx=2dx。

原式=∫sinx·1xdx=∫sinx·2（x）′dx=湊微分∫sinx·2dx=換元令u=x2∫sinudu=-2cosu+C=變量回代-2cosx+C。

（四） 被積函數與基本積分公式相近，此時，被積函數也可以看成是兩項的乘積，并且兩項之間有導數關系。

【例4】求∫（5x-3）10dx。

分析：被積函數雖然是一個冪函數，但不能直接套用基本積分公式求解，而且由于次數較高，展開來計算也不簡單，所以要考慮使用其他方法來計算。在此題中，如果將dx換成d（5x-3），題目就簡單許多，這就需要先湊微分。湊微分時，將被積函數看成（5x-3）10乘1，其中復合函數中間變量（5x-3）′=5，與1相差常數倍，則1=15（5x-3）′，湊微分后的結果為1dx=15d（5x-3），被積函數中還剩下（5x-3）10，從而可以換元然后求解積分。

解：∫（5x-3）10dx=∫（5x-3）10·1dx=∫（5x-3）10·15（5x-3）′dx=湊微分∫（5x-3）10·15d（5x-3）=換元令u=5x-315∫u10du=155u11+C=變量回代155（5x-3）11+C。

在近幾年的教學實踐中發現，只要掌握了被積函數的特點，掌握了湊微分的技巧，第一類換元積分法就不再是難題。當然，由于本人實踐經驗有限，文中還存在不足之處，歡迎廣大讀者批評指正。

作者簡介：

陳小燕，云南省昆明市，云南機電職業技術學院。