小議公開課教學的幾個關注點
——以《函數奇偶性》為例

☉江蘇省灌云高級中學 朱磊磊

眾所周知，數學教師的基本素養之一是良好地演繹公開課.數學公開課是一個數學教師綜合素養能力的集中體現，可以這么說，從教學的設計、學案的設計、課堂的演繹、板書的呈現、學生的交流、課堂的控制、課后的反思，無不體現了教師全面的綜合素養.筆者以一堂自身設計的《函數奇偶性》為例，跟大家探討課堂教學的設計與反思，并關注公開課教學的幾個關鍵點.

一、關注情境

情境是中學數學教學的重要手段，之所以在公開課教學中這么重要，筆者以為不外乎兩個因素：其一，數學知識是生活的抽象；其二，數學是物理載體的本質.因此以情境為設計的知識點，往往將本課需要表達的數學本質寓于其中，讓學生從生活的角度去感受數學知識的存在，這恰恰是體現了數學之用.

《函數奇偶性》情境設計：

師：給出下列圖片，請仔細觀察，這些圖片有什么共性？有什么區別？

生：我發現這些圖片都具有對稱性，有些是軸對稱，有些是中心對稱.

師：很好.同學們發現了圖片的共性——對稱性，也發現了這些圖片的區別，是不同的對稱性——軸對稱和中心對稱.請你說一說，這些圖片中的對稱是如何看待的？

生：蝴蝶是大自然中完美對稱的生物，它這樣的形態有著一定的生態規律；太極是中國古代道家的著名標志，象征著陰陽兩極交替環繞，呈現中心對稱之美；第三幅是一張報紙上的截圖，我們發現兩位美國總統候選人以中心對稱的方式排布，給人以極強的視覺沖擊效果，可見對稱美的作用；最后一幅是印度泰姬陵建筑，完美的軸對稱建造，呈現大氣磅礴、華麗堂皇，視覺沖擊力極強.

師：很好！大家想一想，我們將這些圖片的物理屬性除去，就可以得到我們數學中的對稱之美.

說明：公開課教學的起始步驟極為重要，用華東師大教授張奠宙先生的話說，教材中的數學定義都是線性的、冰冷的，教師如何將線性的知識轉化為火熱的思考，是我們教學需要關注的.筆者以為，好好地理解老教授的話，不正是需要用感性的知識去引導學生做理性的思考嗎？因此情境手段成為我們啟發學生思考、加深學生理解知識的重要手段，不可或缺.好的情境往往讓課堂成功了一半，因此公開課教學的第一個關鍵點要讓學生獲得足夠的思考、在視覺層面可以形成一定的沖擊，讓我們的教學開展得更有意義.

二、關注建構

師：同學們，如何看待一個圖形是否不對稱呢？

生：這很容易，只要兩邊不完全一樣就可以了.

師：你能否舉個例子？

生：比如剛剛的蝴蝶，如果一邊的翅膀受傷折斷了，那么這只蝴蝶的形態就不是軸對稱圖形了.

師：那么你把問題抽象一下，能否用一個具體的數學模型舉個例子呢？

生：比如函數f（x）=x2（x∈R）是軸對稱圖形，如圖1，但是f（x）=x2（x∈R且x≠1.3）（在點A處沒有定義）就不是一個軸對稱圖形了，如圖2.

圖1

圖2

師：理解到位.那么請大家說一說，我們如何給軸對稱函數、中心對稱函數下一個定義呢？

生：應該是圖形的左邊和右邊完全對稱！

師：說得非常正確！但是讓我們用數學的語言進行表述，要進一步抽象：對定義域內的任何一個自變量x，都有f（-x）=f（x），那么函數關于y軸對稱.請你仿照此軸對稱的定義，描述函數關于原點成中心對稱的定義.

生：對定義域內的任何一個自變量x，都有f（-x）=-f（x），那么函數關于原點成中心對稱.

說明：對于概念的建構是教學的難點，對于軸對稱和中心對稱的概念建構，如何通過剛剛的情境進一步合理地過渡？一直是教學思考的.我們發現，這里的四幅情境教學的圖片，不僅僅給學生感官上的沖擊這么簡單，更要從圖片的認知中獲得數學抽象的素養，從而提升數學學習的能力.筆者實施過程中也是反其道而行之，先請學生思考：沒有對稱性怎么進行說明？學生自然而然想到了使用存在性進行說明，即說明一處不對稱就可以.在抽象奇偶函數概念的時候，這里采用類比的教學方式幫助學生建構概念，首先是教師在學生感性的基礎上進行了抽象偶函數概念，學生類比建構奇函數概念.筆者以為，這種方式是比較符合教學實際的.那種完全依賴學生抽象數學概念的建構，至少在今天的數學課堂中是不現實的，是偽建構.眾所周知，函數的各種概念歷經上百年才形成，你不能也不可能要求學生在短短十分鐘左右的時間內獲得數學本質的抽象，因此公開課教學在建構部分需要做到合適的處理，忌教師直接給出，也忌學生無休止地偽探究.

三、關注思維

數學教學的最終目的是幫助學生建立思維，獲得更高的數學素養，以便學生用數學的思維來思考生活.因此公開課教學也需要關注學生思維的發生、發展，在公開課教學中加以滲透和展示.

給出兩個問題兩組變式，請學生判斷、思考、解決：

問題1：判斷下列函數的奇偶性：

辨析：給出的這個基本題組，是考查學生對于剛剛建構的概念是否掌握，能否將具體的概念運用到實際問題中去.對于基本初等函數奇偶性的判斷，主要是抓住兩個關鍵點，其一是定義域是否關于原點對稱；第二是考慮f（-x）=-f（x）還是f（-x）=f（x）？公開課教學也要回歸教學的基礎，這一點也是近年來公開課教學最大的呼聲，切忌將公開課演繹的“空、大、鬧”，而要注重數學學科的特性，回歸“真、用、靜”，因此這些回歸數學的真實操作必不可少.

問題2：判斷下列函數的奇偶性：

辨析：對思維的提升，更需要一些合理的數學問題作為鋪墊，要更進一步理解單調性，我們需要用更為抽象的函數模型給予思維的提煉.因此筆者給出了更為復雜的函數模型，在這些模型中學生又能更深刻地理解概念中“任意自變量”“都有”這些高等數學的嚴密用語，從而提煉了思維.

解析：（1）（2）略.

（3）f（x）的定義域是{x|4+x>0且4-x＞0}={x|-4＜x＜4}，它具有對稱性.因為f（-x）=lg（4-x）+lg（4+x）=f（x），所以f（x）是偶函數，不是奇函數.

綜上可知，g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是奇函數.

變式1：已知函數f（x）為奇函數，且當x<0時，f（x）=x2+3x+2，則當x∈［1，3］時，f（x）的取值范圍是______.

辨析：最后給出的兩個變式，更進一步地將函數奇偶性運用于實戰，這是公開課教學更注重實際的體現，也是近年來公開課教學的本真體現.在分段函數、復雜函數中，如何運用奇偶性概念成為思維更高層次的體現.變式1的具體解決：可以先求出x>0時，f（x）的解析式，再求當x∈［1，3］時，f（x）的取值范圍，也可以直接求出當x∈［-3，-1］時，f（x）的取值范圍，再利用奇函數的性質得到f（x）在［1，3］上的取值范圍；變式2先將函數常數分離，得到數，根據奇函數的圖像特點求解，不再贅述.

四、關注反思

公開課教學必須關注反思，每一堂 公開課都是教師綜合素養能力的反映，因此哪些方面值得延續，哪些方面需要改進是很有思考價值的.總體來說，本課注重了下列幾點，可以成為教學的一種模板：

其一，情境的有效性，本課情境是有效的，與后續知識的銜接是有價值的，不是為了情境而情境，這是筆者對于情境引入的一大收獲.

其二，概念的建構是在教師引導下完成的，這才是符合中學生實際的，那些純粹自身建構的偽探究是不符合教學實際的，這對于后續教師進一步思考公開課概念教學有相當大的思考.

其三，例題的選擇需要層次性，層層遞進符合了學生的認知規律，因此本課的例題設計和變式設計，對于學生思維的培養是有意的.

限于才疏學淺，本課在教學的立意和深度上還存在不足，請批評指正.