高考中的立體幾何問題研究

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 鄒小鋒

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)，它對(duì)學(xué)生空間想象能力、邏輯思維能力、推理能力等具有較高的要求.通過對(duì)歷年高考數(shù)學(xué)試題的統(tǒng)計(jì)不難看出，立體幾何試題每年都會(huì)有，并且都是以解答題的形式出現(xiàn)，占據(jù)了較大的分值.因此，想要取得一個(gè)理想的高考數(shù)學(xué)成績(jī)，研究高考中的立體幾何試題非常必要.

一、立體幾何知識(shí)概述

教材將高中數(shù)學(xué)立體幾何部分分成了三個(gè)板塊，分別是空間幾何體、空間向量及空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.通過這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，能夠發(fā)展學(xué)生的空間想象、邏輯思維、邏輯論證等方面的能力，是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出了立體幾何對(duì)發(fā)展學(xué)生能力的重要意義，也提出了學(xué)生對(duì)立體幾何學(xué)習(xí)的目標(biāo)要求.高考不僅僅是選拔人才的重要考試，還是檢驗(yàn)我們教學(xué)狀況的重要工具，它可以直接反映出數(shù)學(xué)學(xué)科的課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)理念，它的題目設(shè)計(jì)直接影響著數(shù)學(xué)的教學(xué).在歷年的考試大綱中也對(duì)該部分知識(shí)提出了要求，但是還是有多數(shù)學(xué)生在這一部分的得分較低.這就說明，我們平時(shí)在該部分知識(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)還存在著一定的問題，還需要我們結(jié)合高考數(shù)學(xué)中該部分題目的情況去研究我們的教學(xué).

二、高考數(shù)學(xué)立體幾何部分問題分析

（一）高考立體幾何部分問題概述

通過對(duì)近些年高考數(shù)學(xué)試題的分析統(tǒng)計(jì)可以看出，立體幾何涉及的知識(shí)主要分為“了解”“理解”和“掌握”三個(gè)層次.其中需要掌握的知識(shí)有常見組合體的結(jié)構(gòu)特征；證明空間位置關(guān)系的方法；空間向量的相關(guān)知識(shí)等，向量部分的知識(shí)是重中之重.在眾多考題中，二面角是高考數(shù)學(xué)立體幾何的常考點(diǎn).

（二）高考數(shù)學(xué)常見問題分析

1.平行垂直類問題分析

平行垂直類問題提主要涉及線線平行垂直、線面平行垂直和面面平行垂直，它們之間的性質(zhì)和定理可以構(gòu)成如圖1所示的關(guān)系圖.在遇到問題的時(shí)候，學(xué)生就可以根據(jù)這一關(guān)系圖（如圖1），提取自己想要的知識(shí)點(diǎn)來解題.

圖1

在高考數(shù)學(xué)平行垂直類問題的證明中，不論是線線垂直（平行）或面面垂直（平行）通常選擇向量法和綜合法求解.

例1（2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科18）如圖2所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為五面體的六個(gè)頂點(diǎn)，平面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，二面角D-AF-E和二面角C-BE-F都是60°.

證明：平面ABEF⊥平面EFDC

分析：這道題考查的知識(shí)點(diǎn)較為全面，涉及了點(diǎn)、直線、平面之間的平行與垂直；直線與平面的數(shù)量關(guān)系等.與常見的立體幾何問題相比，本題以不規(guī)則的三棱柱為載體，給學(xué)生的認(rèn)知上提高了難度，但是在證明線面關(guān)系的垂直上較為直接，有助于學(xué)生的解答.在解決這一問題的時(shí)候，數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想較為關(guān)鍵，線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化應(yīng)用廣泛.

證法一：因?yàn)椤螦FD=90°，所以AF⊥EF.

因?yàn)锳BCD是正方形，所以AF⊥EF.

又因?yàn)镈F∩EF=F，所以AF⊥面FEC.

因?yàn)锳F?面ABFE，所以平面ABFE⊥平面EFDC.

證法二：在平面EFDC中過點(diǎn)D作DH垂直EF交EF于點(diǎn)H，令A(yù)F=4，DF=2.

圖2

因?yàn)锳F⊥FD，AF⊥BF，所以∠DFE=60°.

那么DA2=DH2+AH2.所以DH⊥AH.

因?yàn)锳H∩EF=H，所以DH⊥平面ABEF.

因?yàn)镈H?平面EFDC，所以平面ABFE⊥平面EFDC.

解題誤區(qū)：首先，有少數(shù)學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的原因是基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠牢固，對(duì)相關(guān)的概念、定理不熟悉.例如，在題目中明確給出了條件“二面角D-AF-E和二面角C-BE-F都是60°”，但是他們就是找不準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角，他們想當(dāng)然地認(rèn)為二面角D-AF-E和二面角C-BE-F對(duì)應(yīng)的角分別是∠DFE和∠CEF，最終求得DF=CE.

其次，部分學(xué)生選擇了向量法來進(jìn)行求解，導(dǎo)致在煩瑣的計(jì)算面前出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

第三，還有部分學(xué)生缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲱}習(xí)慣，對(duì)題目中的坐標(biāo)系圖形化的歪歪斜斜，并且有的地方表述也較差，導(dǎo)致失分.

2.夾角類問題分析

在高考數(shù)學(xué)立體幾何中，求夾角類問題主要有異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角三種類型.在解決這類問題時(shí)，很多學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，主要的原因就是找不到要求的角，還有些是法向量求不出來.在解決求夾角類問題的時(shí)候，如果采用綜合法來求解，關(guān)鍵是需要將兩條異面直線通過平移等方法將它們放到一個(gè)平面上，然后通過所在三角形尋找解題突破口.另外，還可以通過在直線上找特殊點(diǎn)的方式和找平面角的方式來進(jìn)行求解.不論是求異面直線的夾角還是直線與平面的夾角以及兩個(gè)面的夾角，解題的關(guān)鍵就是將它們轉(zhuǎn)變成同一個(gè)三角形內(nèi)部的問題.如圖3所示.

圖3

在解決立體幾何中的求角類問題時(shí)，不論是利用綜合法還是向量法來求解，都是將角的問題轉(zhuǎn)化為線線角的求解，學(xué)生可以根據(jù)自己的特長(zhǎng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉砬蠼?

例2 如圖4所示，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

圖4

分析：本題相對(duì)較為傳統(tǒng)，是學(xué)生較為常見的菱形，但是，又在菱形的基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新.題目中要求異面直線所成角，通過向量法和綜合法都可以完成解題.

解法一：如圖5，作AM∥DF，并且AM=DF，連接BM交AE于點(diǎn)N，那么BM∥CF且BM=CF，這樣就AE和CF所成角就轉(zhuǎn)化為AE和BM所成角.cos∠ENB=（.△AMN和△EBN相似，那么BN=2NM.又BM=CF=∠ENB=∠AEB）

圖5

解法二：以G—→B和GC所在方向?yàn)閤軸和y軸，以GB為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6.

圖6

解題誤區(qū)：首先，部分學(xué)生存在審題不清的情況，題目中明確說明ABCD是菱形，他們卻將它當(dāng)成正方形，將AB和BC看成垂直，并在它們上邊來建立直角坐標(biāo)系.有的即使坐標(biāo)系構(gòu)建正確，但是計(jì)算能力較差，導(dǎo)致cos〈〉計(jì)算錯(cuò)誤.其次，部分學(xué)生解題過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，忽視了異面直成了最終答案.還有部分學(xué)生在證明平面ABC⊥平面AFC的時(shí)候，直接由顯現(xiàn)垂直（EG⊥AC和EG⊥FG）得出來，并沒有經(jīng)過線面垂直（EG⊥平面AFC）的過渡.

縱觀近些年高考數(shù)學(xué)立體幾何部分的問題不難發(fā)現(xiàn)，該部分知識(shí)以基礎(chǔ)知識(shí)為依托，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和解題技能.另外，運(yùn)算能力也是學(xué)生應(yīng)對(duì)立體幾何問題的必備素質(zhì).因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重學(xué)生這些方面能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生解決立體幾何問題的能力，進(jìn)而提高高考數(shù)學(xué)成績(jī).H