2018年一道高考數學壓軸題的思路發現*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

☉內江師范學院數學與信息科學學院 陳香君

2018年高考數學全國卷Ⅲ理科第21題，是一道涉及超越函數、函數單調性、導數和不等式的好題，該題以數學核心素養、數學探究和創新意識立意.第（1）問借助于導數討論函數的單調性就可以解決.第（2）問的解題思路作了重點分析與探究.

1.2018年高考數學全國卷Ⅲ理科第21題及簡評

題目 （2018年高考數學全國卷Ⅲ理科第21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（1）若a=0，證明：當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

該題是以超越函數y=ln（1+x）、函數單調性、導數和不等式等知識為載體，是一道以數學核心素養、數學探究和創新意識立意的好題.該題的壓軸效果特別顯著，實現了“一題當關，萬人莫解”的命題意圖.第（1）問比較常規但也需用到二階導數，對中等生不會有太大困難，對于基礎比較差的考生只要會求一階導數得到1、2分也不成問題.所以，第（1）問的設計體現了人文關懷.但第（2）問的難度特別大，以S省近27萬理科考生為例，該省僅10人答對，足見此題對數學尖子生數學素養的挑戰性.第（2）問含有高等數學背景.一些高中教師認為，本題所給“標準答案”應用了考生不熟悉的高等數學知識，不太容易懂.

我們認為，本題是一道深含高等數學背景、突出考查數學探究和數學創新思維的好題，但命題組給出的“標準答案”似有探討和改進之必要.說本題是一道好題，有下面幾點理由：一是第（1）問的設計中規中矩，其解法屬于通性通法，只要會求導數并且敢做，得1、2分是不難的；二是第（2）問雖然很難，但可以從第（1）問的解法獲得啟示或靈感；三是第（2）問具有原創性，顯然教師都沒有教過、學生也都沒有做過，這對全體考生是公平的；四是第（2）問以數學核心素養和創新意識立意，數學核心素養體現在面對新的具有挑戰性數學問題時要敢想、會算、敢猜、會證、善用、敢創新等方面.本題的解答沒有現成套路和既定方法，甚至也不知道從何處下手，這就需要考生具有強烈的創新意識，并能夠對已有知識經驗進行重組、推廣、創新.

2.第（1）問的解答

當a=0時，f（x）=（2+x）ln（x+1）-2x，f′（x）=ln（1+x）-

當-1＜x＜0時，g′（x）＜0；當x＞0時，g′（x）＞0.故當x＞-1時，g（x）≥g（0）=0，且僅當x=0時，g（x）=0，從而f′（x）≥0，且僅當x=0時，f′（x）=0，所以f（x）在（-1，+∞）單調遞增.

又f（0）=0，故當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

3.第（2）問的思路發現與探究

思路發現1：由于x=0是f（x）的極大值點，一般會想到求導，通過判斷導函數f′（x）在x=0的左、右兩側充分小的范圍內的正負號，來判斷函數f（x）的單調性.

由第（1）問的結論知，a≥0不滿足第（2）問的條件.

所以，下面只考慮a＜0的情況.

易知，f′（0）=0，f′（x）在x=0的左、右兩側充分小的范圍內的符號難以判斷.又由于在x=0的左、右兩側充分小的范圍內，可以假定x+1＞0.因此，只需研究f′（x）通分后的分子的符號，這樣做的目的是為了減少運算.

因為a＜0，所以1-2a＞0，所以h″（x）單調遞減.

猜想的證明留到后面.

思路發現2：因為f（0）=0，所以“x=0是f（x）的極大值點”等價于“f（x）＜0在x=0的左、右兩側充分小的范圍內（如x∈（-ε，0）∪（0，ε）） 恒成立，其中ε是充分小的正數”，即當x∈（-ε，ε）時，函數f（x）在x=0處取得最大值.欲求a的值，可考慮分離參數法.

當x∈（-ε，0）∪（0，ε）時，可以斷定2+x+ax2＞0.

由此，只需證明：x=0是g（x）的極大值點.

若6a+1≠0，當x∈（-ε，0）∪（0，ε）時，其中ε是充分小的正數，g′（x）的近似值可以取從而可以斷定g′（x）的符號保持不變.因此，x=0不是g（x）的極大值點.這與題設矛盾.

當x∈（-ε，0）時，g′（x）＞0；當x∈（0，ε）時，g′（x）＜0.

所以x=0是g（x）的極大值點.故x=0是f（x）的極大值點.

點評：此方法實質上是“標準答案”的一個改進.在這里充分應用了極大值的定義和近似值的估計.當x→0在計算（估計）g′（x）的近似值時可以忽略不計，也就是說，當x→0時，此式對g′（x）的符號的影響可以不予考慮.

思路發現3：按照“估算—猜想—證明”的思路.先考慮使用函數ln（1+x）的麥克勞林公式來估算，然后提出猜想，最后給出證明.對函數f（x）本身作估算.

當x→0時，f（x）≈（2+x+ax2）x-2x=ax3+x2（a≠0）是一個三次函數，x=0不是f（x）的極大值點.

所以，取ln（1+x）≈x（當x→0）不能滿足題設的條件.此嘗試失敗，需要繼續嘗試.

所以，此嘗試也失敗了，需要繼續嘗試.

說明：當x→0時，-2ax3是因此，在對f′（x）的值的符號進行估計時，-2ax3可以不予考慮.

此時，x=0不會是f（x）的極大值點.

此時，x=0有可能是f（x）的極大值點.

方法1：直接對f（x）求幾次導數.為便于學生理解，可以引入輔助函數，如采用f′（x）=p（x），p′（x）=q（x），q′（x）=r（x）等符號.但為了簡便，本文直接采用二階、三階導數的符號.

在x=0處的左、右兩側充分小的范圍內，f′（x）的符號難以判斷.因此，可以考慮再求一次導數看看.

在x=0處的左、右兩側充分小的范圍內，f″（x）的符號仍難以判斷.因此，仍考慮再求一次導數看看.

設ε是充分小的正數，于是有：

①當x∈（-ε，0）時，有f?（x）＞0?f″（x）在（-ε，0）上單調遞增?f″（x）＜f″（0）=0?f′（x）在（-ε，0）上單調遞減?f′（x）＞f′（0）=0?f（x）在（-ε，0）上單調遞增?f（x）＜f（0）=0.

②當x∈（0，ε）時，有f?（x）＜0?f″（x）在（0，ε）上單調遞減?f″（x）＜f″（0）=0?f′（x）在（0，ε）上單調遞減?f′（x）＜f′（0）=0?f（x）在（0，ε）上單調遞減?f（x）＜f（0）=0.

綜上，對于充分小的正數ε，當x∈（-ε，0）∪（0，ε）時，恒有f（x）＜0，又f（0）=0，所以x=0是f（x）的極大值點.

點評：本思路發現按照“估算—猜想—證明”的思路進行，這正是發現（創造）數學的一種基本方法.本題的本質是不等式其中ε是充分小的正數.本題的p（x）很可能就是從ln（x+出發反向構造出來的.這是高考命題常用的基本方法.

思路發現4：不對函數f（x）本身作估算，而是對f（x）的一階、二階導數等作估算.

由第（1）問的結論知，a=0不符合第（2）問的條件.所以a≠0.

首先，考慮f（x）的一階導函數在x=0處附近的左、右兩側充分小的范圍內的符號.

當x→0時，1+x→1，ax2-x≈-x，用ln（1+x）≈x對f′（x）

在x=0處的左、右兩側充分小的范圍內，2ax2不變號，即f′（x）不變號.這表明，無法判斷x=0是f（x）的極大值點.

所以，用ln（1+x）≈x對f′（x）的近似值作估計，失敗.

然后，考慮f（x）的二階導函數在x=0處的左、右兩側充分小的范圍內的符號.

當6a+1≠0時，在x=0處的左、右兩側充分小的范圍內，（6a+1）x變號，即f″（x）變號.從而，x=0可能是f′（x）的極值點.

猜想的證明可以仿思路發現2和思路發現3.

本題的其他解法和高等數學背景，也值得探究.H