數學歸納法在三角形重心定理推廣中的應用

☉湖北省武昌實驗中學 李棽麗

數學歸納法是高中數學證明題中的特殊方法，特別是在研究整數范圍內的數學命題時經常用到，運用恰當，就會事半功倍.眾所周知，三角形每個頂點與對邊中點的連線交于一點，稱該點為三角形的重心，且重心到頂點的距離是其到對邊中點距離的2倍.該結論對于平面上的四邊形［1］和三維空間中的四面體［2］也成立.運用數學歸納法自然可以把三角形的重心結論推廣到平面上的任意多邊形［3］，即平面上的（n+1）邊形的每個頂點到其對面n邊形的重心連線段交于一點，稱該點為（n+1）邊形的重心，且該重心到頂點的距離是其到對應的n邊形重心距離的n倍.對于重心定理在更高維空間的推廣研究還很少，本文巧妙運用數學歸納法，把上述結論推廣到高維情形，并運用數學歸納法給出重心的向量判別條件.

一、n維單形的重心定理

定義：對于n+1（n≥2）個點，如果其中任意一點與其余n個點作成的n個向量生成一個n維空間，則稱這（n+1）個點及其任意兩點的連線段組成的圖形為一個n維單形.通常稱這（n+1）個點為單形的頂點，去掉一個頂點后，剩余n個頂點及其兩兩連線段也組成一個（n-1）維單形，稱為該頂點對應的（n-1）維面.

三角形即為二維單形，四面體為三維單形，并約定線段為一維單形.由三角形與四面體關于重心的定義，可以歸納定義n維單形的重心，并可以得到類似的結論：n維單形的每個頂點到其對應的（n-1）維面的重心連線段交于一點，稱該點為n維單形的重心，且重心到頂點的距離是其到對應（n-1）維面重心距離的n倍.

命題1：設P1P2…Pn+1是一個n維單形，頂點Pi（i=1，2，…，n+1）對應的n-1維面的重心記為Gi.則n+1條線段

首先用歸納法證明如下引理.

引理：在命題1的假設下，如果命題1的結論對于小于n維的單形成立，則有：

當n=2時，此時圖形為圖1，顯然有：

故結論成立.

圖1

圖2

現假設引理對小于n的情形成立.于是對于n維單形P1P2…Pn+1，頂點P2對應的n-1維面P1P3P4…Pn+1是一個（n-1）維單形.在該單形中，設頂點P1所對應的（n-2）維面P3P4…Pn+1的重心為M（圖2對應n=3情形）.由歸納假設有：

另一方面，注意到在n-1維單形P1P3P4…Pn+1中，G2是其重心，M是此單形中頂點P1所對應的（n-2）維面的重心.由引理假設，命題1結論對于小于n維的單形成立，故

即（1）成立.下面考慮（2）.故（2）成立，這就完成了引理的證明.

命題1的證明：當n=2和n=3時即為三角形和四面體的結論［2］.現假設定理對小于n的情形成立，用歸納法證明結論對n維單形也成立.

由歸納假設知引理條件滿足，故由引理得

二、n維單形重心的判別條件

命題2：n維單形P1P2…Pn+1的重心是O當且僅當

證明：（必要性）若O為重心，則由命題1得

進一步由引理中的（2）得

（充分性）用歸納法證明.當n=2和3時，三角形和四面體［4］的情況顯然成立.假設結論對于小于n的情形成立（小于n維的單形命題1及引理均成立）.對于n的情形，若的情形類似.由假設有的頂點P1所對應的n-1維面的重心為G1，則：

由引理中的（1）知，

借助向量載體，巧妙運用數學歸納法，可以進一步探索平面上多邊形和高維空間中n維單形的相關性質，加深對幾何圖形的直觀認識，體會數學歸納法在幾何問題證明中的奧妙.