中英教材中“導數計算”內容的知識結構比較

☉浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學 沈金興 王 華

一、前言

中外教材對數學知識的編排一般都是先介紹概念，然后推出數學定理或公式，再進行例子應用講解，最后安排習題訓練.而數學課堂除了概念講授外，大多數是知識鞏固課.本文選擇了“導數概念”學習后的“導數計算”這個知識點，因為該知識的講授屬于鞏固課，涉及大量的求導公式和法則及其運算，從而可研究比較中國與英國的不同教材，分別是如何處理其結構編寫與例習題配置的，進而各取所長，為教材編寫和教學設計提供參考與建議.

二、研究方法

1.研究對象

研究比較的內容是“導數計算”，分別在人民教育出版社出版（2007年版）的數學A版《選修2-2》第一章的1.2節；英國培生公司（A pearson company）2008年出版的愛德思（Edexcel）國家職業學歷與學術考試機構所用的教材《核心數學1》（Core Mathematics 1）第七章的第二部分內容.

由于中國大陸有較多版本的高中數學教材，但大多數省份使用的還是人民教育出版社出版的教材.因為該社一直致力于教材的編寫，有專門從事教材研究的課題組，其出版的高中數學教材在中國的使用面較廣，所以具有廣泛的代表性，于是以該社出版的教材為研究對象（下稱“中國教材”）.而英國的Edexcel機構采用的高中數學教材是《Edexcel AS and A Level Modular Mathematics》，核心數學模塊系列有core1、core2、core3和core4，是英國學生在進入大學之前的必修課程，因此在英國也是使用比較普遍的教材之一.由于“導數計算”是在core1的教材內，故以該教材作為英國的代表來研究（下稱“英國教材”）.

2.研究問題

中英兩國教材在介紹完“導數概念”后針對“導數的計算公式與法則”是怎樣編排和呈現其結構的？導數公式和法則又是如何得來的？相配套的例習題其編寫特點是什么？習題數量、難度水平等是怎樣設置的？

3.研究方法

基于兩個國家不同版本教材的文本材料，在宏觀與微觀兩個層面建立分析框架，以具體的細節內容進行對比并輔以定量分析作為主要研究方法，從而可以更清晰地了解兩國教材在“導數計算”這節內容編排上的異同點.

三、比較分析與討論

1.兩國教材中求導公式與法則呈現的結構特征比較

從宏觀視角觀察，教材在導數概念得出后，在對求導公式的推導和法則介紹上，其整體呈現的結構形式路徑，中國教材如下：

英國教材則如下：

由中英兩國教材對求導公式和法則的結構呈現路徑來看，其大致的編排思路是類似的：都是從一般到特殊，再從特殊到一般.也就是從已經得出一般化的導數概念出發，推導出一些特殊函數的求導公式，然后歸納出某一類函數的一般化公式.而且在給出函數間的四則運算求導法則上采取了相同的處理方式：都沒有進行嚴格地證明或解釋，而是直截了當得出或歸納一下給出.

從微觀層面觀察，就會發現在具體函數的求導公式與法則的處理上是有差異的，這體現出了兩國不同的編寫理念.中國教材先從導數概念出發，經過推導得出了5個函數求導公式接給出冪函數、指數函數、對數函數與三角函數的求導公式，接著給出兩個函數加、減、乘、除求導法則，最后便是復合函數的求導法則.教材接著安排例題與習題，在老師講解后讓學生進行大量練習，并在練習過程中熟悉求導公式與法則.英國教材也是先從導數概念出發，推這4個函數的求導公式，然后通過歸納得出一般化的冪函數y=xn的求導公式，接著還是從導數概念出發推導出y=ax2+bx+c的求導公式，再歸納總結出此類函數的求導法則，并進一步推廣到了多項式函數的一般化形式：y=anxn+an-1xn-1+…+a0的求導法則，最終再得出形如：y=f（x）±g（x）這類兩個函數加減形式的求導法則.英國教材只涉及多項式函數，卻并沒推導也沒給出指數函數、對數函數和三角函數的求導公式，甚至對兩個函數乘、除形式的求導法則也沒給出，而是通過運算把式子轉化為加、減的形式后再進行求導.英國教材也不涉及復合函數的求導法則，但卻出現了二階導數，當然只針對多項式函數形式.求曲線在某一點處的切線方程兩國教材都安排了，不過英國教材介紹了法線方程，而中國教材沒有.

通過對兩國教材具體的細節分析比較，發現還是有許多不同之處.英國教材在“導數計算”這章節的處理方式還是能讓學生慢慢接受并理解的，體現了“以人為本”的理念.比如冪函數y=xn的求導公式、兩函數和、差的求導法則等都是通過不完全歸納得出來的；有些復雜的求導公式與法則等則安排在了后面的模塊去繼續學習.相對而言，中國教材直接給出求導公式與法則，沒有解釋，只要學生記住，然后通過“教師講解例題+學生模仿訓練”的模式，希望通過大運算量的例習題訓練掌握公式和法則的應用.

2.兩國教材中例習題呈現形式的比較

（1）例習題的類型和題量比較.

同樣先從宏觀層面觀察.兩國教材在例習題的類型上都有例題、探究題、思考題、練習題與習題，其中中國教材把習題按難易度又分了A組和B組，而英國教材沒有區分，統一稱為綜合習題.如果一道題分幾個小題或幾問，則一律當作一題，也就是按大標題來統計，具體情況見表1.

表1 兩國教材的例習題類型與數量統計

從例習題的類型與編排形式上看，兩國教材也很相似：都有相同的題型形式，都是先安排引入后分析，中間安排探究題或穿插思考題，得出公式或法則后安排例題，隨后再配上練習題，在章節最后統一配置綜合習題.這體現了兩國教材編寫者的一致觀點：新知引出前需要探究，都需要大量習題的訓練才能鞏固數學知識，而這完全符合學生學習數學的特點與認知規律.當然從“導數計算”這節內容安排的題量上看，英國教材要遠遠多于中國教材，幾乎是2倍，但英國教材主要多在練習題的數量上，其余類型的題量相差不大.

（2）例習題的難度水平統計.

由于兩國教材的題量總數相差較大，因而還需要觀察例習題的難易度，從而才能從整體上有所了解.筆者借鑒美國心理學家布盧姆關于學習水平的劃分理論，把例習題的難度水平從低到高劃分成四個層次.難度水平1：只要直接運用公式一步計算即可，屬于識記層面；難度水平2：需要把條件分析后轉化為一步運算或應用概念分析后解題，屬于領會層面；難度水平3：需要在新的情景中分析應用，一般要三步運算才能完成，高于領會水平，屬于理解層面；難度水平4：需要深度挖掘隱藏的條件，要經過四步及以上運算才能完成，已屬于復雜、靈活的使用或創新應用水平.這四個難度水平層次分別用N1、N2、N3、N4表示，然而分別賦值為1、2、3、4的權重.表2便是統計了兩國教材中例習題不同難度水平的題量，并最后算出加權平均難度水平以作比較.

表2 兩國教材的例習題難度水平統計

在對兩國教材就“導數計算”這節內容的例習題難度水平量化后發現，大多數例習題還是集中在中等程度的難度水平2與3上，反映了例習題的難易度應該適中.只是中國教材中安排的基礎題較少，只占總題量的6.9%，而達到難度水平4的占了24.1%；相反英國教材的基礎題較多一些，占了總題量的12.5%，而難度水平4的只占了10.7%.所以針對“導數計算”內容而言，總體上中國教材的例習題難度要高于英國教材，這也可以在加權平均水平上體現出來.因此雖然英國教材的例習題數量要多很多，但難度水平要略低于中國，反映了英國教材比較側重于難度水平適中的題型訓練，而中國則側重于較難水平的題型訓練.

（3）兩國教材例習題中信息技術和數學文化的融入比較.

在“導數計算”這一節的例習題中，從微觀層面觀察，兩國教材在信息技術及數學文化的融入方面又作了統計，具體如圖1.

圖1

從圖1可看出，兩國教材在信息技術的應用方面都不錯，說明兩國教材的編寫者都注意到了新興教育技術的應用，尤其是中國教材，更是體現了課標的理念：“注重信息技術與數學課程的整合，與時俱進.”在數學文化的融入方面，中國教材要好于英國教材.中國教材在這一節的后面安排了一個專題：“探究與發現”，詳細介紹了應用導數來求解方程近似解的方法：牛頓法，而且運用數學文化的層次也較高，有附加式和復制式，而英國教材沒有涉及.

四、結論與啟示

1.結論

（1）兩國教材的編排形式與例習題的呈現結構高度類似.

以“導數計算”這節內容為例，在宏觀視角的整體呈現結構上，與以往的不同版本研究有相同結論，即兩國教材的編排思路非常類似.比如求導公式的得出都是從一般概念入手到特殊例子，再從特殊例子歸納出一般化結論；例習題的編寫順序也都是先按例題再緊跟練習題，中間安排探究與思考題，最后是綜合習題的這樣一個結構路徑來呈現.在編寫理念上也高度類似，比如兩國教材的編者皆認為學好數學離不開大量的練習題訓練，尤其是英國教材更是如此；例習題的難易度都集中設計在中等程度上；都注重了信息技術的應用等.

（2）兩國教材在具體內容的處理上差異較大.

雖然宏觀層面兩國教材整體類似，但從微觀層面的細節處理上卻體現了兩國教材的較大差異.比如，求導公式與法則的選擇就不一樣，中國教材把高中所學函數的求導公式，包括四則運算和復合函數的求導法則都直接介紹了，但沒有證明或解釋，因為學生還無法理解其原因，不在現有的認知區域內，只需記住會應用即可；但英國教材只選擇冪函數的求導公式及其組合而成的多項式函數，而求導法則也只介紹加、減形式，且公式與法則都是從幾個特殊例子中通過歸納得出的，似乎更能讓學生信服.英國教材安排的題量更多，但中國教材難度卻要大一些，且融入了數學文化.

2.啟示

從宏觀與微觀兩個層面考察兩國教材的相同點與不同點，比較得出結論后就可博采眾長，為我國教材的編寫和中學一線教師的教學設計帶來啟示.

（1）教材編寫的啟示.

我國在編寫“導數計算”這節內容時，既要把兩國教材中的相同點繼續傳承下去，又要吸取各自的優點和精華，作到“以人為本”，進而編著出更符合學生的認知規律與學習特征的教材.像上述結論1中兩國教材的類似之處與編者都認可的理念，當然要保持；而中國教材的不足之處可借鑒英國教材，比如求導公式與法則，可在學生已有認知基礎上盡可能用一些不完全歸納，使學生即便無法理解原理但也能認可，而不僅僅是死記硬背.在信息技術的使用與數學文化的融入方面還可繼續發揚我國教材的優勢，并還可增多，以進一步提高學生的數學素養.

（2）教學設計的啟示.

作為工作在第一線的教師，教材是藍本，但也要根據學生情況設計教案.針對兩國教材的差異性，教師可通過辨析，把兩教材中更合理的編寫形式展現給學生.比如，冪函數的求導公式和函數加、減的求導法則，就可象英國教材那樣去歸納得出，而函數乘、除的求導法則直接給出后，再將它們化為幾個函數加減的形式進行求導驗證，從而盡可能使學生相信這些公式與法則“規定”的合理性.在課堂教學上多采用一些信息技術，比如通過幾何畫板、Flash等的演示，以增強學生的直觀性，幫助學生理解.在例習題設置上，多增加一些基礎題，以提高學生對公式和法則應用的熟練程度，還可增加如選擇、判斷及填空等類型的習題，以實現例習題類型的多樣化.