高三復習中的“微型專題”
——以“高考中的正余弦函數”為例

☉上海七寶中學 文衛星

“微型專題”是高三復習課中的一種常見形式，“微型”的“微”是見微知著，是知識、技能、思想方法的濃縮，雖然題量少，但思維量不小，思想方法不少.專題是對一類特定問題，“微型專題復習”是一種高效的復習形式，這類問題往往能一題多解（培養學生的發散思維能力），或多題一解（培養學生的概括抽象能力），還要能總結出一定的解題規律.由于一節課教學內容要集數學思想和解題方法于一體，對選題要求較高.

近年高考三角對邏輯推理要求較高的試題集中在正余弦函數，涉及求ω和φ的值或范圍、周期性、單調性、圖像平移等知識點.本課對這些知識點作些梳理，并選擇典型題目作為例題，與學生共同討論總結規律.

高三復習往往大容量，課堂氣氛沉悶，本課在各環節小結中利用打油詩或對聯來總結復習內容和思想方法，不僅朗朗上口，又能準確把握試題特點和規律，更重要的是對問題的理解能上升到一個新的高度，體現數學的求真、求美、求簡精神.這是筆者近年在教學實踐中的嘗試，意在使學生掌握數學知識、形成思想方法的同時，提高文化品位.

現將教學過程記錄如下，請同行批評指正.

一、基本知識回顧

填空學生都能做對，平移問題多數學生也能做對，比較同學做法，最后總結：化成同名函數后，先伸縮再平移，至于平移方向及平移多少只要畫出圖像很容易發現（為節省篇幅，圖略）.

小結：正弦曲線似波浪，各種性質圖中藏；正余變換只兩步，攻堅克難心向往.

二、例題選講

題型（一）圖像平移

本題雖然也是三角函數圖像平移問題，但先要確定t是考查函數思想，把點坐標代入函數得最簡三角方程，再解出s，考查的重點是平移函數圖像的“左加右減”的思想，但后面還要解三角方程，與通常的函數圖像平移有很大不同，題型新穎，體現考查能力的要求.

小結：不同名化同名，ω不同先伸縮.

題型（二）求ω、φ的值或范圍

例2（2017年天津理第7題）設函數f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f（x）的最小正周期大于2π，則（）.

解法2：直接代入檢驗便知選A.

圖1

解法2：因為f（x）在（π，2π）內沒有零點，所以f（x）≥0在（π，2π）恒成立或f（x）≤0在（π，2π）內恒成立；因為≤0.

這種方法計算量大，“易想難算”.好些學生做不到底或計算出錯，出現“會而不對”.

在筆者提示下有少數同學想到“正難則反”的解法，在巡視中沒有發現學生用排除法.

對于客觀題，應該首先選擇間接解法，一題擁有多解法，求真求美求簡化.

小結：周期大小限制ω，方程范圍確定φ.

題型（三）利用圖像對稱性、周期性解題

例4 （2015年安徽理第10題）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正的常數）的最小正周期為π，

A.f（2）

C.f（-2）

學生對本題有兩條思路：其一是轉化到正弦函數的單調區間內比較橫坐標的大小；其二是比較橫坐標與其距離最近的對稱軸距離的大小.因此有下面的3種解法.

解法1：因為函數f（x）的最小正周期為π，所以ω=2，f（x）=Asin（2x+φ）.

解法1和解法2思路相同，但解法1偏重代數運算，解法2是數形結合，二者計算量有很大差異，對此教學中要有針對性評講，才能引起學生在解題過程中重視.

小結：圖像是個寶，解題不可少；依理畫出圖，難題變易了.

三、本課小結

正弦考題，變換單調周期對稱性；

解題之道，伸縮值點作圖再化歸.

注：值點指最值點和零點.

四、感想

圖2

所以f（2）

一節課講的內容不一定要很多，只要把相關問題講透那就很好了，這正是微型專題的特點.本課是在復習正弦曲線一般性質的基礎上，結合近年高考題設計的一節課，目的在于深化對正余弦函數的理解，見識一些新題型.

本課的題目大多是客觀題，題雖小但信息量大.引例為后續課的正常進行提供知識鋪墊和思想方法指導.例1雖然是平移問題，但問題設置新穎，是一個點在一條曲線上，平移后在另一條曲線上，平移前后的縱坐標不變是解題的關鍵.例2知道一個最高點和零點坐標，求ω和φ的值，看似簡單，實際上所得方程組有多個參數，對考生運算能力要求較高.

一題多解可以有效地甄別一個考生的思維能力，高考時在客觀題中安排這些試題的目的在于考查學生思維的靈活性，突出選拔功能.例3的條件是否定式給出，不符合學生的閱讀理解習慣，審題對部分考生是個坎，過了這個坎，如果用常規解法（解法1、解法2）計算量相當大，少數考生可能出現“會而不對”的情況，即使得到正確答案，那也要耗費不少時間，而解法3、解法4則相對容易許多，能力高低立刻可見.但解法3是逆求法，運用補集思想，在三角中并不常用，這也是“核心素養”中的“數學運算”，例4的解法2也很簡單.

微型專題一般說來目標明確具體，要解決的問題相對集中，就是一個個小模塊，便于“集中兵力打殲滅戰”.本課就是把近年高考中較為新穎的題型歸納總結成三種類型，讓學生通過幾個典型題目的研討，使學生掌握基本思考方法，對常規方法運算較繁的解法，想到利用圖像進行等價轉化（例4解法2、解法3），尋找簡捷的解題方法.此外，作為客觀題，特殊值法或直接代入驗證這些都是基本方法，有時能快速得到正確答案.W