數學思維：數學核心素養生成之根

☉江蘇省白蒲高級中學 秦國清

數學核心素養是學生經歷數學化活動而習得的數學思維方式，進而發展為所必需的關鍵能力，內化為數學品格，幫助養成健全人格.數學學科核心素養的形成與發展是學生理解數學知識并掌握數學本質的現實價值所在.它表現為學生在忘掉所學數學知識的情況下，仍然可以從數學的角度，通過頭腦中印刻的數學思維與理性精神有條理地觀察、分析、論證并解決各種問題.

數學學科特有的理解問題和分析問題的思維方式，是讓學習者深入思考問題時所需要的一種能力.數學思維是學生數學核心素養的重要組成部分，也是數學教學的根.從思維層面上構建數學學科核心素養體系的系統性、完整性和豐富性，并通過課程實施將其轉化為學生的內在品質.

一、關注概念教學，培養學生的數學思維能力

章建躍博士認為，突顯數學思維，這是教學智慧的高度體現.而數學概念是反映數學對象本質屬性的一種數學思維形式，是數學知識的生長點，是導出數學定理、法則的基礎，它蘊含數學思想和方法.反映了探索自然現象和研究數學問題的科學規律.因此，關注概念教學，才能從根本上培養學生的數學思維能力.

1.體驗數學概念的“生成過程”，開啟學生“數學思維”

學生的數學思維發展遵循從具體形象思維到經驗型抽象思維，再到理論型抽象思維，最后到辯證思維的過程.如在講解函數的單調性時，由函數圖像的上升（下降）的趨勢，到y隨x的增大而增大（減小）的語言描述，再到函數在某區間單調增（減）的嚴格提出.特別是函數單調性的定義證明，它是中學階段第一次用動態的有限（的點）來刻畫無限（的點）的變化趨勢.教學時重點要放在對概念的發生、發展過程的解析上，南師大陶維林老師在講授函數的單調性時，注重學生思維參與和感悟，能直達思維的關鍵處；直擊矛盾的沖突處；直通邏輯建構的抽象處.課堂深刻精彩，給我震撼！筆者對概念教學的深入研究由此開始.

數學概念教學要著眼于數學核心素養的養成，培養學生數學思維能力.包括對概念的抽象、辨析和運用過程.如新授二項式定理和排列組合數公式時，由問題情境開始，讓學生親歷數學運算、數據分析，到直觀想象、數學抽象，再到邏輯推理、多元表征，最后數學建模、應用鞏固.使學生感受到數學求真求美的思維過程.在二項式定理的教學中要加強思想方法的引導，抓住“展開式中的項是如何產生的？”這一核心問題.“誰出？怎么出？出幾個？”

教師科學提問，學生經歷過程，充分挖掘出數學概念蘊含的思維教育價值.

2.弄清數學概念間的“整體聯系”，學會數學思維方式

概念教學設計始終要關注數學思維的過程與方式，讓學生學會多種思維方式：發散思維、因果思維、類比思維、系統化思維等，培育學生的理性精神.

抓住數學概念體系的形成過程的層次性，循序漸進、滲透提高.譬如指數和對數，教材意圖明顯，希望把對數問題化歸為指數問題，借助指數冪的運算性質，導出對數的運算性質.如研究向量運算，可以幫助學生回憶，運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索.從數到字母，是運算的一次跳躍，到向量運算又是一次跳躍；從而加深和拓展了學生對數學運算的理解，讓其體會到數學運算在建構數學系統中的作用.這樣的過程是自然的、水到渠成的，學生在概念的形成過程中容易實現思維飛躍.

二、做好解題研究，提升學生的數學思維品質

數學本質上就是幫助訓練學生思維的，其重要價值就是幫助學生思考問題，拓展學生的“思維空間”.因此在教學中，應立足于學生的數學思維訓練，提升學生的數學思維品質，培養學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的綜合素養.

1.在解題中培養學生數學思維的“獨立性”

將“第一時間”還給學生，讓其在獨立思考中發展思維的獨立性.賦予學生更多的參與學習的機會和權利，讓每一個學生在第一時間不被其他學生的思維干擾，自主獨立思考完成題目給出的問題，在此基礎上，鼓勵學生積極思考，多思善問，提出不同看法，即便是繁難的，甚至錯誤的方法，那也是一個比較好的“經驗”，教師要善于從學生“錯解”中提煉合理的成分加以肯定，適時地表揚和鼓勵，讓學生在鼓勵中不斷調整思維方向.

要給他們充分的時間和機會表達、反思，辨析和體會，讓學生養成自動矯正、調節自己的學習行為的能力.努力給學生的感知、存疑、嘗試、自悟以充分的時空，給學生提供獨立學習的機會，使學生的學習始終處于一種有準備的狀態，更容易進入“自主學習”的境界.從而真正實現“輕負高質”，培養自覺、自主、自立的學習者，為學生的終身學習打下堅實基礎.

2.在解題中培養學生數學思維的“流暢性”

孫旭東老師強調，解題時學生想明白，寫清楚即可.寫清楚是能規范表達；想明白是有數學思維.解題要從審題，看清題意開始，從目標（結論）和已知條件兩個方面入手.

例1（2013年江蘇高考第13題）在平面直角坐標系xOy中，設定點A（a，a），P是函數y=（x>0）圖像上一動點，若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數a的所有取值為______.

本題是距離最值問題，可通過建立目標函數，然后對目標函數進行分析，注意換元后自變量取值范圍和對二次函數分類討論.

學生解析如下：

教師：你是怎么做到一步一步流暢解答的？

學生：我覺得解題開頭很重要，我是根據條件，寫出由此能得到的相應結論，一步一步摸索向前，并運用整體換元、計算轉化，最終得到正確結論.通俗點講就是要體會老師常說的解題思維三步驟：“寫出來看看；目標（結論）是什么；條件怎么用？”

老師：我們在解題時往往有“一眼看不到底”的經歷，即不能從開始到結束都能有明確的思路.不少同學遇到問題時首先看是否做過或有沒有明確的思路，一旦不是熟悉的問題，就不自信，不能冷靜分析，錯失良機.這時我們有什么想法就不妨寫出來，寫出來與寫不出來都要去看看解題目標.當然也可從已知條件出發，看看能得到哪些結論，只有這樣解題思路才會變得流暢.

3.在解題中培養學生數學思維的“深刻性”

從數學教育角度看，解題的思維過程是最有價值的，它可以看出學生思維的特征.教者要立足于教學實際，對學生的真實思維活動進行深入的分析，讓每一位學生主動地對原有知識和經驗進行回憶和識別，積極參與到課堂中來.發揮思維方法的威力，培養學生數學思維的“深刻性”.

例2 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓=1的左右焦點，過右焦點F

圖1

2的直線l與橢圓交于A，C兩點，記△ABF2，△BCF2的面積分別為S1，S2.若S1=2S2，求直線l的斜率.

本題中，把面積比轉化為線段的長度比，可用弦長公式；圓錐曲線的統一定義；參數方程；極坐標方程求解.另外還可從平面幾何和向量的角度，將線段的長度比轉化為坐標關系，求點解決.以上這一類是解析幾何中的熱點問題，由計算開始，開啟學生的數學思維活動，發散拓展，歸納提升.師生共同探究出解析幾何中的長度差（和）、長度比問題應該分別應用什么方法解決.教師引導學生可直接從問題表征字面理解出發解決問題；也可對問題表征進行深層理解，增強理解問題的深度，實現思維架橋，視通萬里；也可內涵深入，鞭辟入里，重新表征問題，實現解題遷移，提升解題境界，升華數學思維品質.

4.在解題中培養學生數學思維的“辯證性”

在解題中培養學生數學思維的“辯證性”，主要訓練學生看問題要客觀全面，不要絕對.研究“對立的”或者“關聯的”數學問題，學會解題前的預判和解題中的調整，培養學生的思辯能力.

另外三角中“配角”與“拆角”也是一對辯證關系，“配角”是用已知角來表示未知角；“拆角”是用方程（組）來解題.2012江蘇高考數學第15題的第（2）問更是將“切化弦”和“弦化切”的方法選擇演繹的靈動、深刻.

因此，教學時，要提高學生的辯證思維能力，全面地、系統地、聯系地分析問題與解決問題，在矛盾雙方對立統一的過程中把握其發展規律，克服極端化、片面化.

5.在解題中培養學生數學思維的“創造性”

習近平總書記指出：“唯創新者進，唯創新者強，唯創新者勝.”在解題中培養學生數學思維的“創造性”，就是要善于因時制宜、知難而進、開拓創新.

例3（2008年江蘇高考第14題）設函數f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立，則實數a的值為______.

本小題考查了函數單調性、不等式恒成立及導數的有關知識，體現了分類討論的數學思想.答案提供了兩種方法，一是求導正面分類討論；二是參變分離再分類討論.不論那種方法過程都較繁雜！考慮到它是填空題，把表達式一分為二，一邊是三次函數，一邊是一次函數，畫圖、利用切線的知識，數形結合，又快又好！最妙的是也可先根據x∈［-1，1］，將x=1和x=-1代入，限制a的范圍，再具體分析，避免了過多的討論，很快解決問題.嚴格的推理過程強調由一般到特殊，有時調整一下順序，由特殊到一般，就會產生意想不到的驚喜！正所謂：“世間萬物，變動不居，明者因時而變，知者隨事而制”.