促進發展，和諧共建
——基于學生發展的數學教學實踐研究

☉江蘇省西亭高級中學 馬宇杰

一、問題的提出

維果茨基在二十世紀二三十年代就提出了教育學應以兒童發展的明天作為方向的言論，前蘇聯教育家贊科夫在他提出的“最近發展區理論”的基礎之上也深入剖析了傳統教學的弊端，贊科夫提出了以“學生的發展”為本的教學理論.人們隨著社會發展的日益加快也越發關心教學與發展.我國教育專家裴娣娜一直持學生發展依賴發展性教學的觀點，她認為發展性教學理論與社會要求以及課程標準是能夠匹配且相互適應的.

很多數學概念、公式的形成因為發展性教學的實施而變得更為清晰和具體，學生在清晰而具體的認知過程中也更易對學習對象形成深刻的理解.學生在理解教學活動的內部結構與進程的基礎上往往更易對知識形成完整的構建，不僅如此，還能在學習的過程中尋得適合自己的學習方法并不斷提升自學能力.高中生已經具備了一定的抽象邏輯思維，學生也逐步開始在已有經驗的基礎上學會理論的概括且逐步走向成熟.本文結合兩角和與差的余弦公式進行了發展性教學的思考與探索，發展性教學下對這一內容的研究往往能夠提升學生對兩角和與差的余弦公式的理解并促進其數學思維發展.

二、教學設計

1.創設情境

師：三角函數的定義是我們已經學過的內容，一些特殊角的三角函數值也是我們同學清晰記得的，如，那么我們是否可得出cos15°=cos（45°-30°）=？大家來猜想一下吧，這一式子的結果會不會等于cos45°-cos30°呢？

生1：不可能，因為cos15°是正的，但cos45°-cos30°是負的，因此不會相等的.

師：說得不錯，那么這種猜想不對的話，正確的結果應該是什么呢？

（學生都陷入了思考中）

師：這個結果確實也不是我們同學能力范圍內的，不過通過本課的學習，大家應該能夠知道了，今天我們就來研究cos（α-β）的值應該怎樣確定，看看它和α，β的三角函數值會不會有什么關系.大家可以嘗試一些特殊的情況對這一公式的結構形式進行大膽猜想.

由此可見，我們所要討論的公式形式和cosα，cosβ以及sinα，sinβ應該都有關系，那么它們之間究竟存在著什么樣的代數關系呢？

2.學生活動

師：請大家看一下此題并進行解題嘗試.

若向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°）.請大家運用數量積的定義與坐標方法分別計算：a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2.請大家對兩次計算的結果進行比較并看看能否發現什么？

生2：向量的數量積有兩種表達形式，根據這兩種不同的表達形式可得cosθ=cos75°cos15°+sin75°sin15°，θ是a，b兩個向量的所成角，即θ=75°-15°，因此可得cos（75°-15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15°.

師：太棒了，大家有沒有從這一特例中獲得一點啟發并將這一結論進行推廣？

同學們面對這一問題紛紛躍躍欲試并展開了熱烈的討論，爭取將問題一般化并運用特例進行一般結論的猜想.

3.公式的構建

生3：可以猜想到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：生3的這個猜想對不對呢？

生4：可以運用特殊值來進行驗算，如α=30°，β=60°；α=90°，β=45°；α=240°，β=30°，用這三組特殊值驗算可以發現猜想是對的.

師：大家如果覺得該公式是對的，數學的嚴謹性大家也是都知道的，那么是否能夠對其進行一番證明呢？請同學們對上述兩式的構成要素與結構特征進行仔細的觀察，看看大家是否有什么啟發、聯想或者發現.

……

生5：從上述特例cos（45°-30°） 以及cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ這一式子左右的結構特點可以發現，其右邊和向量數量積公式的坐標表示是十分相近的，不僅如此，我們可以聯想構造終邊與單位圓的交點分別是A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），結合向量數量積的兩種運算方式即可得到以上恒等式.

師：請你將整個證明過程在黑板上板演一下，其他同學在稿紙上完成證明.

證明：如圖1，在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A和B，則=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖1

所以cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα（0≤α-β≤π）.

師：生6，生5的解答過程跟你的是否一致？

生6：我漏寫了（0≤α-β≤π）.

師：大家覺得這一條件是否一定要注明呢？

生5：我認為是必需的，畢竟兩個向量的夾角是［0，π］.

師：生5的回答完全正確，但大家有沒有想過這一公式是不是只能在（0≤α-β≤π）這一條件下成立呢？

學生在座位上竊竊私語起來：假如一定需要這一條件，這個公式實際應用的局限性好像很大啊.

①當α-β∈［0，π］時，則α-β=θ，cos（α-β）=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ；

②當α-β?［0，π］時，則存在k，m∈Z，使得α-β=2kπ+θ或β-α=2mπ+θ.

不管何種情況，都有cos（α-β）=cosθ，即cos（α-β）=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.

這里需要同學們尤其注意公式結構特點的觀察，這能有助于我們同學記憶，同時，公式的逆向運用也是我們需要注意的.

變式：

①cos25°cos20°-cos65°cos70°=______.

②cos58°sin37°+sin122°sin53°=______.

師：大家還有其他方法能夠推導出兩角差的余弦公式嗎？這個問題請大家參考教材中的探究模塊并自主完成.

4.例題講解

教材中的例題講解略.

師：角的拆分是此題中我們需要注意的，比如：

（1）已知角2α，β的正余弦值，則2α+β的三角函數值應怎樣求出？

（2）已知角α+β，α-β的正余弦值，則2β的三角函數值應怎樣求出？

5.課后作業（略）

三、教學評價

高考對于高中整個階段的教學來說只是一個階段性的評價，考分雖然能夠對學生的學習作出一定的客觀反映，但它并不是唯一的衡量指標.以學生發展為本并倡導學生的整體與持續發展是發展性教學理論一直強調的，因此，教師應將學生的思想品德、文化知識、勞動技能、身體素質等多個方面內容均考慮進學生的學習評價中.國家對創新型人才的需求也是對當今教育教學所提出的要求.國際上已經將不會主動探求新知或不會實踐應用知識的人歸結為文盲，隨著國際間的交流增多，知識更新加快，教育教學也必須順應形勢才能使學生能夠不斷增強應變能力以適應社會環境的變幻莫測.高中學生因為自身視野的局限往往未必能夠考慮良多，但教師應該能夠認清社會發展的形勢，應將學生的認知因素、情感、意志等內容的評價置于學生的綜合評價之中，一改過去依賴考分評價學生學習情況的片面性，使學生能夠在知識學習、能力達成、情感表現等各個方面均得到客觀的評價，使學生能夠在不斷的實踐探索、創新思維中增進知識、情感、價值觀等多方面的綜合發展.

教師在本課的教學活動中不斷引導學生進行探索、猜想、發現與推導，兩角差的余弦公式在學生猜想、推導得出的過程中也令學生的運算能力、邏輯推理能力大大提升，學生體驗探究樂趣的同時也大大鍛煉了數學素質，學生在兩角差余弦公式的運用中學會了簡單的求值、化簡證明并體會到了化歸思想的運用，這有助于學生辯證看待問題的良好習慣的養成.

教師的教學藝術如果緊緊局限在傳授知識的層面，那必然是狹隘的，更為藝術的是對學生的激勵，學生在愉快和諧、自由思考的氛圍中往往能夠獲得更多的思想火花與知識情感.因此，教師在情境創設、探究設計等各個環節都應體現學生的主體地位，使學生能夠在浩瀚繁雜的知識中進行關系的探尋、數學思想的挖掘以及知識體系的構建，讓學生在教師的啟發與引導下學會思考并真正獲得數學素質的全面發展.W