借題發揮用策略，講評效率有提升
——例談普通高中數學作業講評課的有效教學策略

☉浙江省諸暨學勉中學 潘 波

在普通高中數學教學中，作業是學生進行學習最基本的活動形式，學生數學概念的形成、數學知識的掌握、數學方法與技能的獲得、學生智力和創新意識的培養，都離不開作業這一基本形式.我們也知道作業講評課的教學作用：一是鞏固概念、規律，反饋信息，了解教學效果；二是深化、活化知識，培養思維品質，提高應用能力；三是訓練科學表達能力和嚴謹的邏輯思維能力，作業講評課中的習題研究，側重于對比總結、聯想遷移、活化知識，從而提高學生的發散思維、聚合思維，提升他們的解題能力.然而在作業講評課教學實踐中，課堂單調乏味，效率低下是一個不爭的事實.

長期以來，高中數學作業講評是很多數學老師的困惑，沒有優美的情境導入，沒有精彩的預設，作業中的習題也是學生已經做過的，如果教師再“就題論題”，勢必造成學生沒有新鮮感，思維形成惰性，整個課堂往往顯得沉悶，而且“就題論題”效率不高，忽視了知識間的聯系，不利于學生認知結構的優化，這是與新課程理念相違背的.如果教師能夠適度“借題發揮”對所講的習題進行一定的變式拓展或是展示不同的解法，不僅可以讓學生成為課堂的主人，而且還能使學生對所研究的問題有更深刻的認識.

一、借題發揮式作業講評課教學的理論依據

教師可以從學生的作業中發現學生學習中存在的問題，而作業講評則是解決問題，完善、優化學生認知結構的必要環節.在課堂中教師引導學生探究發現題目的相似特征，使他們在問題的導向下，積極主動探究，發現規律，完成對題目的解答.其理論依據主要有以下幾方面：

（一）心理學依據

心理學認為，人在氣質、性格、能力、知識和智力的發展水平上都存在著個別差異，一個班幾十個學生，分別具有不同的心理發展水平、不同的學習成績和知識基礎、不同的個性特點.借題發揮式教學中的不同策略設計，就是為了適應學生認識水平的差異，根據人的認識規律，把學生的認識活動劃分為不同的階段，在不同的階段完成適應認識水平的教學任務，通過逐步遞進，使學生在較高的層次上把握所學的知識.

（二）教育學依據

由于高中學生基礎知識狀況、學習方法等存在差異，接受教學信息的情況也就有所不同，所以教師必須從實際出發，因材施教，才能使不同層次的學生都能在原有程度上學有所得，逐步提高，最終取得預期的教學效果.

二、借題發揮式作業講評課教學中應用策略實例

（一）適當增加設問，以提高作業題利用率

例1已知（fx）=2cos2x+sin2x+a（a∈R，a為常數）.

（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；

本題是三角函數綜合練習題，主要考查三角函數恒等變形以及y=Asin（ωx+φ）+B的性質.在作業講評課上，除了分析了學生的錯解外，在此題的基礎上又增設了幾個問題：

（3）求f（x）的單調區間以及f（x）圖像的對稱軸和對稱中心；

（4）在（2）的條件下f（x）的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換后得到y=sinx的圖像？

通過沿用原題的條件，適當增加設問，這樣的“借題發揮”可謂是“短、平、快”，提高作業的利用率，加快課堂的節奏，加大課堂的容量，并使得每一位學生都能在這道題目中得收獲.

（二）巧妙一題多變，以揭示所設問題本質

題目出處為浙江省教育廳教研室編寫的《浙江省普通高中新課程作業本—數學》必修1·人教版第33頁能力提高第11題.

作業講評中，在本題的基礎上給出以下變式題：

例3 求函數y=4x-2x+1+2，x∈［1，2］的值域.

從例2到例3，其實就是一種感性思維上升到理性思維的過程.沒有例2那么直觀，特征那么明顯，所以例3中的一個結構需要學生理性地去思考和辨別，當然通過例2的講解，例3的突破變得容易起來.

從例3的變式體現在用整數指數冪的運算性質來掩蓋一次項，那么例4有了創新，通過用整數指數冪的運算性質來修飾二次項，使其系數不為1.所以告訴學生在做作業時，要注意觀察所給題目的特征，然后帶著理性或創新思維去解題.

（三）構造一題多解，以優化解同題的方法

例5 若x2-ax+3≥0在x∈［1，3］上恒成立，求a的范圍.

本題主要考查二次函數在閉區間上的最值以及數學中的轉化思想，是一道恒成立問題.講評中糾正了部分學生直接利用Δ≤0來求解的錯誤方法，并且與學生一起探究得到了這類問題的多種解法：

（1）直接分類討論求最值法：設f（x）=x2-ax+3，即f（x）min≥0.

（3）數形結合法：結合f（x）=x2-ax+3的圖像予以分析.

通過講評的機會引導學生從多種角度予以展示，進行多種解法的思路分析和解法的比較，總結不同解法的特點，比較不同解法操作程序的差異，優化解題的方法，當問題的多種解法展示于學生面前時，學生必會主動地去評價方法的繁簡，通過內化的過程，吸取各種解法之精華，進而揭示最簡或最佳的解法.但應讓學生明白通性通法，巧法未必就是好法，不能只追求巧妙解法而忽視了基本方法.

（四）突出多題一解，以提高思維的深刻性

例6 已知A（1，2），B（-1，3），P為直線l：x+y-4=0上一動點，求|AP|+|BP|的最小值.

本題是直線對稱問題中的作業題，需要先判斷A，B是否位于直線l的同側還是異側，若是異側，可由|AP|+|BP|≤|AB|得到答案；若是異側，則需先算出A關于直線l的對稱點A′，再進行求解.本題主要考查了點關于線的對稱點的求法以及對數學問題的轉化能力.為了讓學生能更好地體會和應用這一方法以及能力，筆者在課堂上給出了以下的一道題目：

這道題目一給出，有些學生覺得怎么把函數的問題放到這堂數學課上來了，有點感覺莫名奇妙，但是用函數求最值的基本方法又行不通，這時通過引導，考慮能否從幾何意義的角度來理解這個函數，發現這個問題可以轉化為x軸上的點（x，0）到（1，1）、（2，2）的距離之和的最小值問題，與作業中的題目是殊途同歸啊！

通過這樣的多題一解的變式，可以讓學生領會同一數學思想，同一數學方法在不同題目背景下的不同應用，能夠加深對數學思想和方法的理解，促進數學能力和數學素養的提升，同時提高了思維的深刻性.

三、借題發揮式作業講評課教學后的反思和體會

高中數學作業講評課的教學是高中數學課堂教學的一種重要形式，通過作業講評課的教學，可以幫助學生鞏固基礎知識，消除知識應用中的困惑，發現對知識、方法應用時的生疏，糾正解題中存在的問題；深化和活化所學的知識；并能達到梳理知識結構、完善知識系統、熟練知識應用，培養學生思維能力，最后促進學生解題水平的提升.

在作業講評過程中把相同知識歸一，不同知識對比的方法進行點評，學生從“異”的表象中發現“同”的本質，從“形似”的表象中發現“質異”的本質.在認知沖突和方法比較中，消除了思維定式的影響，對培養學生數學解題能力很有用處.因此在作業講評教學中，適當增加設問，巧妙一題多變，構造一題多解，突出多題一解，運用這樣的講評策略，我們的作業講評課才會更精彩和高效.W