借助“糾錯筆記”整合資源的思考

☉江蘇省包場高級中學 張春華

學生對待錯誤的態度往往會影響其數學學習成績.教師在平時教學中應善于引導學生將錯誤視為自己前進的階梯并認真進行錯題的研究，使學生能夠在不斷挖掘、整合錯誤資源的過程中分析錯因、糾正錯誤、深挖外延.要求學生做“糾錯筆記”是筆者幫助學生糾錯的一個重要手段，本文結合筆者在糾錯方面的一些具體做法淺談如何利用“錯題”資源幫助學生深化知識的理解.

一、糾正概念理解的偏差

例1 求經過點M（3，6）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.

錯因分析：（1）截距概念領會不清.

截距：設直線和兩坐標軸的交點分別是（a，0）、（0，b），則a即為直線在x軸上的截距，b則為直線在y軸上的截距.截距的值正負皆可，也可為0.截距往往會與距離這一概念產生混淆，需要注意的是距離的值不可能為負數，具體解題時應避免此類錯誤.

（2）考慮問題不周.

此題應考慮截距為0和不為0這兩種情況進行解題，將直線方程設為情況排除在外了，說明解題時還犯了考慮問題不全面的問題.

解：若截距是0，則直線過原點與點M（3，6），直線方程則為y=2x；若截距不是0，則解法與錯解相同，直線方程即為x+y-9=0.

反思：此類問題出錯一般會包含概念領會不清、問題考慮不周全這兩個原因，我們一定要對教材真正展開研究并準確領會概念的內涵，將概念靈活應用于解題中.很多數學問題的解決都會涉及分類討論的思想，且學習截距這一概念時應知道截距可能存在的情況，因此，解題思考時一定要考慮周全以防止錯解和漏解.

二、糾正忽視公式、定理等適用范圍的錯誤

錯因分析：基本不等式成立的條件在解題中被忽視導致出錯.在時，取“=”.又因為|sinx|≤1，因此這不可能成立，也就是基本不等式中的等號是不成立的，所以不可能是該函數的最小值.

解：因為0＜sin2x≤1，令t=sin2x，則t∈（0，1］，函數y=t+上為單調遞減函數，當t=1時，函數有最小值，即sinx=±1時，ymin=4.故函數的最小值是4.

反思：利用基本不等式求函數的最值是普遍且應得到重視的解法，但在具體解題時要注意三個條件的考察：一正、二定、三相等.也就是說，首先要考察函數解析式中各項是否都是正數，然后要考察函數解析式中各項的和或積是否有一個是定值，最后還要考察不等式中等號成立時是否能取得最值.

質疑：若最值問題中需要使用基本不等式兩次又該怎么辦呢？

錯因分析：此題出錯是因為兩次使用基本不等式時等號成立的條件不能同時成立而導致的當且僅當x=y時，取“=”；而不等式僅當y=4x時，取“=”.又因為x，y為正數，因此x=y，且y=4x不可能同時成立.

此問題應該怎樣解決呢？應該對原式進行重新整理組合并創造一定的條件進行運用.

反思：“=”成立的條件是解決此類題目時尤其需要注意的，兩次運用基本不等式時，要在兩次使用不等式時的條件一致的情況下才能運用.

三、構造知識網絡并拓寬思路

解題思路的開闊與否往往能夠決定解題能力的高低，而知識網絡的建構情況又往往決定著解題思路的開闊程度.如果學習者的大腦中已經形成一個較為完善成熟的知識網絡體系，那么，學習者的大腦在面對具體問題時往往能夠根據知識內容、思考角度、觀察角度等快速進行解題思路與方法的構建，很多不同的解題方案與思路也正是這樣形成的，知識網絡的實現與解題思路的拓寬是相對統一且相輔相成的.

例4 已知實數a，b，x，y滿足a2+b2=1，x2+y2=16，求ax+by的最大值.

錯解：因為a2+b2=1，x2+y2=16，所以1+16=a2+b2+x2+y2=

思路1：求函數的最值問題時最容易聯想到的便是利用基本不等式，尤其看到題設中“a2+b2=1，x2+y2=16”這一條件，這一想法也就更加堅定了，但直接利用基本不等式求解此題卻是行不通的.

（ax+by）2=（ax）2+（by）2+2axby≤（ax）2+（by）2+（bx）2+（ay）2=a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=（x2+y2）（a2+b2）=16，因此，|ax+by|≤4，故ax+by的最大值是4.

思路2：因為題設中有“a2+b2=1，x2+y2=16”，由此可聯想三角函數滿足sin2x+cos2x=1，|sinx|≤1，|cosx|≤1，最后結合三角函數的運算性質及其自身的有界性即可順利解決本題.

由a2+b2=1，x2+y2=16，可設a=sinα，b=cosα，x=4sinβ，y=4cosβ，則ax+by=4sinαsinβ+4cosαcosβ=4co（sα-β）≤4.

知識網絡：sin2α+cos2α=1；

cosαcosβ-sinαsinβ=co（sα+β）；

cosαcosβ+sinαsinβ=co（sα-β）；

sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）；

sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）；

sin2α=2sinαcosα；

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α等.

思路3：由ax+by可聯想到向量數量積的坐標形式.設m=（a，b），n=（x，y），則ax+by=m·n=|m||n|cos〈m，n〉，|m|=

所以ax+by=m·n=|m||n|cos〈m，n〉=4cos〈m，n〉≤4.

知識網絡：m=（a，b），n=（x，y），ax+by?ax+by=m·n=|m||n|cos〈m，n〉≤|m||n|.

根據以上三種解題思路可以進行知識網絡的構造，即求ax+by的最大值有下述三種方法：①利用基本不等式求解；②利用三角函數求解；③利用向量的數量積求解.

借助“糾錯筆記”進行“錯題”資源的各種挖掘能使學生在反思錯誤中不斷明晰錯因，在整合知識中不斷提升自己分析問題、解決問題的能力，使學生保持數學學習的長久熱情并獲得學習效率的不斷提升.W