突破失誤，分析對策
——以2018年全國Ⅰ卷理科第19題為例

☉廣西桂林市寶賢中學 佟 震

2018年高考已經結束，通過對高考試題進行深入分析與研究，進行讀題、做題、議題、思題等步驟，關注高考對數學教學的指導思想，讓人感想頗多.下面以2018年全國Ⅰ卷理科第19題為例，這是一道以橢圓為背景的解析幾何試題，表述清晰，難度中等.而從高考后對此題的作答調查情況來看，仍有頗多的典型失誤.

一、試題呈現

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

本題涉及橢圓的標準方程與幾何性質，直線與橢圓的位置關系，直線的方程與斜率等基礎知識，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，以及分析問題的能力和運算求解能力等.

解析：（1）由已知得F（1，0），l的方程為x=1.

（2）當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補.

所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

二、典型失誤與對策分析

1.會而不全

在第（2）問的證明過程中，沒有分“l與x軸重合”“l與x軸垂直”和“l與x軸不重合也不垂直”進行分類討論，直接設出直線l的方程為y=k（x-1），再加以推演與證明.

分析：這是解析幾何中涉及直線方程的斜率存在性問題的最常見的典型失誤，屬于邏輯性錯誤.這類典型失誤在平時課堂教學過程中經常會加以強調.而在實際解答過程中，由于受到問題的特殊狀態、高考狀態下學生思維的片面性等的影響，導致此類失誤一再出現.

對策：加強數學思維的訓練，特別是嚴謹性訓練.邏輯推理與解答過程是類似的，必須具備等價性.而在解答題的書寫過程中，就必須嚴謹，正確分清從一般到特殊，從特殊到一般的關系.在以上典型失誤中，解答過程中畫出的直線l是某一瞬間的、特別的情況，不可能同時包括“l與x軸重合”“l與x軸垂直”和“l與x軸不重合也不垂直”這三種情況，進而在書寫解答的過程中就導致遺漏，造成會而不全.

在教學過程中，必須重視對學生數學思維的發散性（變式法）、靈活性（多視角）、創新性（構造法）及全面性（等價轉化）的培養與訓練.針對具體的數學問題，引導學生從問題的不同角度、各種關系、相關屬性等進行全面考慮，多視角靈活地解決問題.

2.運算不準

在第（2）問的證明過程中考查數學基本運算，包括直線的斜率之和，直線與橢圓的位置關系等問題中的運算，有的在kMA+kMB的轉化過程中運算出錯，有的在直線方程代入橢圓方程中運算出錯，有的在利用根與系數的關系轉化中運算出錯，運算過程中變量較多，運算繁雜，從而導致失誤.

分析：運算錯誤分析其原因有兩個：一個是知識性錯誤，一個是心理性錯誤.

（1）基本知識掌握不牢固，導致知識性錯誤.本題比較常見的有直線的斜率公式出錯，直線方程的設置與代入過程中的運算出錯，直線與橢圓的位置關系中聯立方程組的運算出錯，根與系數的關系中表達式的運算出錯等.而在其他相關數學知識中，也經常會由于相應基本知識的掌握情況不好而導致運算錯誤的.

（2）心理因素導致麻痹大意或過度緊張.由于在高考的高壓狀態下，容易分為兩個極端，一個是麻痹大意，一個是過度緊張，其都是心理因素不穩定而造成.而其最終造成的結果就是要么簡單運算不夠重視，要么心態不穩導致筆誤等，都會造成運算錯誤.

對策：加強課內、課外訓練.

（1）課內強化訓練.在課堂教學中，重視對基本運算求解能力的訓練，力求做到基本運算零失誤.在專心、細心、耐心、信心等方面下功夫，從學生的每一個細節上尋求突破，全面提升.

（2）課外面批訓練.利用自習課等，在作業解答、測試訓練中，通過課外面批，針對出現的錯誤，指導學生有針對性地從知識點、心理素質等加以訓練，促進學生基本知識的進一步熟練掌握，心理素質的進一步提升.

3.思維不暢

在第（2）問的證明過程中，當l與x軸不重合也不垂直時，要證明∠OMA=∠OMB成立，轉化為MA，MB的傾斜角互補，即kMA+kMB=0來處理.由于思維不暢，無法進行上述的合理轉化，導致無從下手.

分析：解決問題的思維方式往往是巧妙轉化與化歸，解題思維的切入點是解決問題的關系.通過分類討論，當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；而當l與x軸不重合也不垂直時，如何選定證明∠OMA=∠OMB時的切入角度，就是解決問題的關鍵.

（1）思維不暢的一個主要原因是知識點之間的聯系不密切.很多的數學知識點之間是相互聯系，密切相通的，這在解題過程中經常會加以思維轉化.例如直線與圓錐曲線有交點時對應的判別式的正負取值的不等式，直線的斜率與對應的傾斜角，直線垂直與圓的關系，平面向量的數量積與垂直、平行關系等，都是思維轉化的一個重要知識點.

（2）思維不暢的另一個原因就是缺少解題的靈活性，當一種思維不暢時，可以采取其他思維方法來轉化與應用.其實本題中，當l與x軸不重合也不垂直時，要證明∠OMA=∠OMB成立，還可以轉化為：①結合點F到直線AM、AN的距離相等，利用角平分線的性質來解決；②結合點B關于x軸的對稱點B′在直線AM上，利用對稱法來解決；③通過Rt△BEM∽Rt△ADM的轉化來證明對應的線段成比例，利用幾何法來解決；④通過∠OMA=∠OMB，利用向量法來解決等.

對策：加強全面分析和一題多解的訓練.

（1）加強全面分析.在分析問題時，要全面把握題目所提供的關鍵信息，尋找相關之間的關聯，探索已知信息與所求結論之間的關聯通道與轉化途徑，力求解題方向明確，思維體系通暢，內在聯系明了，解題運算簡單.

（2）加強一題多解的訓練.在傳統的教學過程中，學生的思維極具定向性、專一性.而“一題多解”恰好是克服其思維定式的有效途徑，同時培養學生發散思維和思維靈活多樣性的有效方法.通過“一題多解”的訓練，培養學生從多角度、多途徑、多知識尋求解決問題的方法，開拓解題思路，進而通過多種解法的對比與分析中選取最佳解法，總結解題規律，提升解題能力，增強思維品質，進而提升數學核心素養.

三、幾點反思

以上只是這道解析幾何試題的一些典型失誤，在其他知識點的解題中也存在類似的失誤，有時還有其他方面的失誤.這些典型失誤在平時教學過程中重復出現，而在考場中也時時重演著.

從教師層面，加強與學生面對面的交流，指導學生從平時抓起，從“糾錯本”入手，注意細節，提高效益.不少教師對學生學習方式、學習方法方面的指導還不夠，沿用傳統的線性方式記筆記和訂正錯題，沒有形成體系化，導致記憶效果不佳.

從學生層面，必須加強學科學習體系、學習方式、學習方法等方面的改進，注重自主學習，使得學科內容體系化、解題過程嚴謹化、學習動力內驅化，真正做到自主學習，科學掌握.

總之，教師要充分挖掘學生自身內部的能動力，引導學生自主學習，減少或避免由于各種原因導致的典型錯誤，真正達到學會、會做、做好的目的.W