多維剖析，夯實基礎，提升數學核心素養*
——以函數零點的問題為例

☉安徽省太和縣太和中學 岳 峻

一、核心素養的培育

《普通高中數學課程標準》（2017年版）強調：“數學教育的本質是提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.”這就要求通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習，以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.在學習數學和應用數學的過程中學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學學科核心素養［1］.

數學教學中，數學學科核心素養的落實的迫切性日趨引起重視.

數學概念是抽象的，抽象的東西只能獲得具體事例的支持，通過思維的深層抽象來實現思維的淺層，再現創造思維的完整性和特異性，并透徹地理解新的概念.倘若沒有具體實例來闡釋，就無法理解清楚新概念.同樣地，課程標準制定專家們在提出新理念的同時給出相應的淺顯易懂的教學實例，這樣才有利于新理念的領會和落實［2］.

在學校教育中，提升數學核心素養的主陣地就是課堂教學，而教學的載體是數學學科知識的學習、內化.為發展學生的核心素養而教，需要“仰望星空、腳踏實地”的行動.作為數學教育的一線教師，結合平時的教學內容如何引領學生剖析已知信息、學會審題、橫延縱拓，如何提高學生分析和解決問題的能力，如何提升學生的數學核心素養，這是擺在我們一線數學教師面前的現實問題［3］.

二、例析核心素養的培育

函數零點的問題往往以函數為“生”，方程為“旦”，導數為“凈”，性質為“丑”，將函數、導數、方程、不等式的應用這臺壓軸大戲“表演”得繪聲繪色，以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的問題情境，誘導學生思考，引導學生把握數學內容、知識和技能的本質，與數學學科核心素養的達成有機結合.因此，涉及函數零點的問題越來越受到高考命題者的青睞.

為此，在函數零點的問題的教學過程中，筆者結合具體案例，引導學生剖析試題的條件和結論這兩個信息源，力求從語法結構、邏輯關系、數字含義、結構特征、知識儲備等各方面真正弄懂題意，提取有效信息，挖掘隱含信息，提煉關鍵信息，引導學生“悟”出解決問題的途徑，讓其“現出原形”.在教學實踐的基礎之上，本文對其實踐過程中可操作性的層面加以提煉，剖析其內在的數學核心素養，循循善誘地“誘導”學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.權作筆者對數學核心素養的落實作一些嘗試，以供同仁探討［4］.

典例 （2018屆安徽省太和中學沖刺卷）已知函數f（x）=ax+lnx+1.

（1）當a=-1時，證明：lnx≤x-1；

（2）討論函數f（x）零點的個數.

素養分析1：本題函數是建立在基本初等函數y=lnx的基礎之上的超越函數，而函數y=lnx的一個重要特征就是過定點（1，0），自然想到f（1）=a+1.當a=-1時，f（x）=lnx-x+1，f（1）=0，要證明lnx≤x-1，即f（x）≤0，只需證f（x）max=f（1）即可.為此勢必應用導數的正負研究函數f（x）的單調性，進而求解其最大值.借此幫助學生掌握必需的數學知識、技能、思想和方法，有邏輯地表達與交流.

解析：（1）當a=-1時，f（x）=lnx-x+1，定義域為（0，

令f′（x）＞0，則0＜x＜1；令f′（x）＜0，則x＞1.

所以函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以f（x）≤f（1）=0.

所以lnx≤x-1.

素養分析2：函數f（x）零點的個數勢必應用導數的正負研究函數的單調性，利用零點存在性定理進行探索，其本質就是考查直觀想象、邏輯推理等核心素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展.

（2）方法1：函數f（x）的定義域為（0，+∞）.

①當a≥0時，f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，因為f（1）=a+1＞0，當x→0時，f（x）→-∞，所以函數f（x）有1個零點；

綜上可知，當a＜-1時，函數f（x）沒有零點；當a=-1或a≥0時，函數f（x）有1個零點；當-1＜a＜0時，函數f（x）有2個零點.

素養分析3：函數f（x）零點的個數就是f（x）=0的解的個數，等價變形為lnx=-ax-1，進而轉化為直線y=-ax-1與函數u（x）=lnx的圖像的交點個數問題，運用數形結合思想來解決，其解決過程要注意“腦中有‘形’，心中有‘數’”，進而探尋事物變化規律，這也是直觀想象、數學運算等核心素養的考查.

方法2：函數f（x）的定義域為（0，+∞），由f（x）=ax+lnx+1=0，得lnx=-ax-1.

圖1

令u（x）=lnx，v（x）=-ax-1，則函數v（x）是過定點（0，-1），斜率為k=-a的直線，而函數u（x）的圖像如圖1所示，當直線y=kx-1與函數u（x）=lnx相切時，兩者只有一個交點，此時設切點為P（x0，y0），則的圖像的交點個數，只要借助于導數把函數g（x）的圖像正確地畫出來，自然一目了然.這是考查數學抽象、直觀想象等核心素養，促進學生思維能力、實踐能力的發展.

方法3：函數f（x）的定義域為（0，+∞）.x0=1，k=1，y0=0.

所以當k＞1時，函數f（x）沒有零點；當k=1或k≤0時，函數f（x）有1個零點；當0＜k＜1時，函數f（x）有2個零點.

所以當a＜-1時，函數f（x）沒有零點；當a=-1或a≥0時，函數f（x）有1個零點；當-1＜a＜0時，函數f（x）有2個零點.

素養分析4：函數f（x）零點的個數問題也可以應用變量分離法轉化為水平直線與函數圖像的交點個數問題來處理，形象直觀，本題是轉化為直線y=a與函數g（x）

因為當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0，所以函數g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，g（x）min=g（1）=-1.

所以當a＜-1時，函數f（x）沒有零點；當a=-1或a≥0時，函數f（x）有1個零點；當-1＜a＜0時，函數f（x）有2個零點.

三、函數零點的問題的基本活動經驗

函數零點的問題的求解策略有如下的方法：

（1）特征分析，分類討論.

應用導數的正負研究函數的單調性，運用分類討論思想，有邏輯地表達與交流，進而利用零點存在性定理進行探索.

（2）部分分離，化為切線.

若函數可以等價變形為t（x）=k（x-x0）+b的形式，函數零點的問題即可轉化為函數y=t（x）的圖像與直線y=k（x-x0）+b的交點個數的問題，運用運動的思想探求問題，其中參數取值范圍的臨界值就是直線與函數圖像相切時對應的參數值，而臨界值的求解往往應用導數的幾何意義來確定.

（3）完全分離，函數最值.

分離變量法的主要思想是將函數零點的問題轉化為一個一端是參數a，另一端是變量表達式v（x），進而應用數形結合思想探求水平直線y=a與函數y=v（x）圖像的交點個數問題來解決.

以上通法各有利弊，須以函數的特征來合理選擇.在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數形結合，尋找臨界.

四、提升數學核心素養的思考

從函數零點的問題的教學案例的核心素養分析可以看出，思考問題、解決問題的過程中用到的基礎知識、基本技能和基本思想方法只有在具體問題的求解時才能發揮作用，經歷審視、分析、轉化與化歸的過程也就是積累基本活動經驗的過程，而在問題的求解中起決定性作用的卻是六大核心素養［5］.

數學學科核心素養的三個方面，六個關鍵詞，既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體.首先，學生從外界輸入信息，亦即用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養；其次，學生處理信息，亦即用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養；再次，學生輸出信息，亦即用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養.

數學課堂教學的基本任務是帶領學生螺旋式地透徹理解一個個的數學知識，并引領學生結合試題的背景、應用的情境提出問題、思考問題，進而利用自身的知識儲備解決問題，這是實實在在的事情.這樣，在平時的數學教學設計中思考落實數學核心素養的意識，在數學課堂教學各個環節中探尋發展學生數學核心素養的途徑，在教學反思中矯正提升學生數學核心素養的策略，且教學且思考，應成為我們數學教學思考的最基本的追尋點.