淺析構(gòu)造法在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

☉福建省上杭縣第一中學(xué) 邱克榮

應(yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵在于是否明確清晰的解題方向以及是否弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)與背景，搞清楚構(gòu)造的目的并進(jìn)行邏輯組合是順利解題的基礎(chǔ).構(gòu)造命題、表達(dá)式、幾何體是經(jīng)常運(yùn)用的方法.本文結(jié)合三角函數(shù)的具體問(wèn)題對(duì)幾種常用的思維方法構(gòu)造進(jìn)行了一定的思考.

一、構(gòu)造直角三角形

運(yùn)用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一般遵循以下步驟：

（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象成解直角三角形的問(wèn)題并作出平面圖形；

（2）根據(jù)題中所給條件選擇合適的函數(shù)解直角三角形；

（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并最終令實(shí)際問(wèn)題得解.

圖1

二、構(gòu)造一元二次方程

一些題目看似難度很大，但一旦尋得題目本質(zhì)并進(jìn)行方程的構(gòu)造以后就會(huì)簡(jiǎn)單很多，題目輕松得解的同時(shí)還會(huì)令解題者在奇妙的解題構(gòu)思中獲得樂(lè)趣與激情.

例2 已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，sinA≠sinB，且（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0，求

思路分析：題目給出的等式是b2-4ac的形式，因此可以考慮構(gòu)造一元二次方程來(lái)尋找解決這一問(wèn)題的突破口.

又sinA-sinB≠0，因此可以構(gòu)造一元二次方程（sinA-sinB）x2+（sinC-sinA）x+（sinB-sinC）=0. 方程各項(xiàng)的系數(shù)之和為0，所以1為方程的根.由已知b2-4ac=0可知，方程的另一個(gè)根也是1，由韋達(dá)定理可得即2sinB=sinA+sinC.所以

三、構(gòu)造復(fù)數(shù)方程

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)可以對(duì)三角函數(shù)的部分問(wèn)題進(jìn)行解題新思路的構(gòu)造.

思路分析：根據(jù)上式的結(jié)構(gòu)特征可以聯(lián)想匹配的三角函數(shù)對(duì)偶式進(jìn)行復(fù)數(shù)方程的構(gòu)造并因此尋求解題的突破口，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決這一問(wèn)題.設(shè)a=

四、構(gòu)造相似三角形

利用相似三角形的基本性質(zhì)進(jìn)行三角函數(shù)問(wèn)題的解決，使學(xué)生在知識(shí)的綜合運(yùn)用中提升解題能力.

例4 在△ABC中，已知2b=a+c，且a

圖2

思路分析：由C-A=90°這一條件可聯(lián)想相似三角形并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求出其三邊之比.如圖2，在△ABC中，在AB上取一點(diǎn)D，滿足∠ACD=90°，可得∠BCD=∠A，∠B=∠B，△ABC∽

在Rt△ACD中，（c-y）2=x2+b2.

五、構(gòu)造長(zhǎng)方體

利用立體幾何中長(zhǎng)方體的基本性質(zhì)解三角函數(shù)也是一種新的思路與解題途徑.

例5 若銳角α，β，γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，則tanα·tanβ·tanγ的最小值是多少？

思路分析：銳角α，β，γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1這一條件可以令我們聯(lián)想長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的平方和等于其對(duì)角線的平方這一性質(zhì)，因此解決這一問(wèn)題可以進(jìn)行長(zhǎng)方體的構(gòu)造.令長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)分別為a，b，c，對(duì)角線長(zhǎng)是1，三棱和對(duì)角線所形成的角分別是α，β，γ，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)a=b=c時(shí)，tanα·tanβ·tanγ的最小值為

六、構(gòu)造圓錐曲線方程

橢圓、拋物線、雙曲線、圓等曲線方程在三角函數(shù)中的應(yīng)用往往會(huì)令學(xué)生感覺(jué)困難重重，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的聯(lián)想、整合與交叉應(yīng)用.

思路分析：學(xué)生面對(duì)這一關(guān)于三角的命題往往會(huì)容易聯(lián)想到化簡(jiǎn)的方法，不過(guò)題中也有平方和等于1的結(jié)構(gòu)特征，這正好跟橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)是相吻合的，因此，我們可以聯(lián)想橢圓方程的構(gòu)造來(lái)?yè)Q角度解決此，由題設(shè)得點(diǎn)M（cos2A，sin2A）在橢圓C上，又N（cos2B，sin2B）也滿足橢圓C的方程，因此可推理出點(diǎn)N也在橢圓上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的橢圓C的切線方程=1，即x+y=1.又點(diǎn)M（cos2A，sin2A）滿足x+y=1，因此點(diǎn)M也在這一切線上.根據(jù)過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線是唯一的這一性質(zhì)可得點(diǎn)M與點(diǎn)N是重合的，因此

構(gòu)造法解題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種創(chuàng)新與挑戰(zhàn)，一種數(shù)學(xué)形式的構(gòu)造絕不是單一思維方式可以完全支撐的，需要多種思維方式相互聯(lián)系、交叉并融合才能真正實(shí)現(xiàn)構(gòu)造解題.本文列舉的諸多思維構(gòu)造只是借助形式的特殊性而實(shí)現(xiàn)的，這對(duì)于學(xué)生構(gòu)造法思維方式的形成大有裨益，不僅如此，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性也在這些構(gòu)造法的思維中展現(xiàn)得充分而清晰，學(xué)生往往能夠在其中獲得更多數(shù)學(xué)美的體悟與知識(shí)的掌握.H