優(yōu)化高中數(shù)學(xué)解題方法
——以填空題為例

☉江蘇省無錫市湖濱中學(xué) 呂 娉

高中數(shù)學(xué)考試中涉及多個(gè)考試項(xiàng)目，填空題是其中最為重要的一部分，雖沒有選擇題的選項(xiàng)優(yōu)勢(shì)，也沒有解答題要求的邏輯性，但填空題具有其獨(dú)特的解題魅力.填空題的解題方式的難易程度應(yīng)學(xué)生個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而異，無論哪種解題方式，其主要目的都是獲得最后正確的答案，對(duì)此在做題中要選擇正確無誤的解題方式.本文以數(shù)學(xué)填空題的解法為出發(fā)點(diǎn)，從不同的角度分析數(shù)學(xué)的奧秘，從而變枯燥乏味的數(shù)學(xué)解題過程轉(zhuǎn)化為以興趣為主的學(xué)習(xí)過程.

高中數(shù)學(xué)作為高中必修科目，為升入理想的大學(xué)，學(xué)生需要不斷地練習(xí)各種題型的數(shù)學(xué)題，其中不乏機(jī)械性的學(xué)習(xí)和講解，進(jìn)而使原本活躍的學(xué)習(xí)氣氛化為枯燥的做題訓(xùn)練場(chǎng).處于這個(gè)環(huán)境下的學(xué)生，學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)無法充分應(yīng)用于實(shí)際生活.對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)，所取得的學(xué)習(xí)效率普遍較低，長(zhǎng)此以往，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦情緒.雖然高考數(shù)學(xué)試題相對(duì)較難，但其所陳述知識(shí)點(diǎn)多數(shù)來源于課本知識(shí)的拓展.對(duì)此在學(xué)習(xí)中要充分發(fā)揮試卷的潛能，準(zhǔn)確地記憶試題中涉及的知識(shí)點(diǎn)，將“難上天”的數(shù)學(xué)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而使我們?cè)趶?fù)習(xí)中也更加輕松.

本文主要從以下幾個(gè)方面介紹數(shù)學(xué)填空題的做題方法.

一、直接法

所謂直接法就是根據(jù)題目所給的條件，運(yùn)用以往學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)，概括性地總結(jié)分析題中設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)，最后得出正確結(jié)果.這種方法相對(duì)較為簡(jiǎn)單、直接，是一種通過現(xiàn)象看本質(zhì)的最佳方式.

例1 已知數(shù)列{an}為遞增的等差數(shù)列，當(dāng)a1＝1，a3＝a22-4，則an＝______.

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a3＝a22-4，

得1＋2d＝（1＋d）2-4，

所以d2＝4，所以d＝±2.

由于{an}為遞增數(shù)列，

所以d＝2.

所以an＝1＋（n-1）×2＝2n-1.

探究提高：該題為典型的等差數(shù)列，運(yùn)用直接法來解答，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，繼而計(jì)算出等差數(shù)列的相應(yīng)參數(shù)，是直接法運(yùn)算的典型，計(jì)算相對(duì)較為簡(jiǎn)單明了.能根據(jù)題目中給出的信息看到解題的本質(zhì)，因此在解題中相對(duì)較為簡(jiǎn)單.

二、特殊轉(zhuǎn)化法

特殊轉(zhuǎn)化法作為一種特殊的計(jì)算方法，其運(yùn)算的原理是將一個(gè)運(yùn)算利用它們之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為另一種方法進(jìn)行計(jì)算的方式，運(yùn)用這種方法不僅能夠極大地縮短做題時(shí)間，同時(shí)精準(zhǔn)度也有所提升，與其他解題方法相比，該方法方便簡(jiǎn)明，是解決填空題的最佳方法.

例2 如圖1，圖中是由三個(gè)等半徑的圓相交于一點(diǎn)P形成的（點(diǎn)P不在C上），內(nèi)部相交部分為虛線相連，外部實(shí)線的三個(gè)圓弧組成曲線C，假設(shè)圓弧上第i段弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為αi（i＝1，2，3），

圖1

解析：本題可從三個(gè)等半徑的圓所構(gòu)成的等邊三角形為出發(fā)點(diǎn)求解.（取特殊位置）

根據(jù)題意知，三段圓弧構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，

則∠O1O2O3＝∠O2O1O3＝∠O2O3O1＝60°.

根據(jù)上述得，實(shí)線三段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角α1＝α2＝α3＝240°，

探究提高：由于特殊轉(zhuǎn)化法較為簡(jiǎn)單，做題準(zhǔn)確率也較高，在高中數(shù)學(xué)試題練習(xí)中是最常用的方法.主要用于存在某些不定量元素的填空題中，倘若填空題中具有一定的數(shù)值和結(jié)論時(shí)，在解題過程中，可采用特殊轉(zhuǎn)化法，將題中不定量運(yùn)用其他的特殊值進(jìn)行處理.從而在較短時(shí)間內(nèi)，做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)答案.

三、構(gòu)造法

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)填空題中較為特殊的一種解題方法，其做題的簡(jiǎn)易程度因題而已，根據(jù)不同的題型選取不同的構(gòu)造方法，才能變復(fù)雜為簡(jiǎn)單.運(yùn)用此種方法，可根據(jù)已有的條件，構(gòu)建出新式數(shù)學(xué)模型，來解答數(shù)學(xué)填空題.

解析：根據(jù)題意直接求函數(shù)f（x）的最大值與最小值相對(duì)較難，且計(jì)算量較大，而將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可形成一個(gè)新的函數(shù).化簡(jiǎn)過程如下：

再利用函數(shù)g（x）的奇偶性求解函數(shù)f（x）的問題.

根據(jù)上述得g（x）=f（x）-1為奇函數(shù)，

則m-1=-（M-1），所以M+m=2.

探究提高：從函數(shù)題的整體出發(fā)，進(jìn)行思考運(yùn)用函數(shù)的奇偶性特征進(jìn)行解題，是一種利用整體來構(gòu)思的方式.解題過程中運(yùn)用了分式類函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性，通過與分式函數(shù)的最值相聯(lián)系，最終實(shí)現(xiàn)解題的方式.其中部分分式轉(zhuǎn)變變形為奇函數(shù).利用構(gòu)造法解題，來處理最大值與最小值這類問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分析透徹，進(jìn)而使做題更加簡(jiǎn)單化.若想要更加方便地運(yùn)用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題，需要我們熟練地掌握函數(shù)的基本性質(zhì)以及運(yùn)用原則.

構(gòu)造法解答這類數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生具有極強(qiáng)的數(shù)學(xué)模式思維，以在腦海中形成明晰的解題思路.

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合解題方法就是將數(shù)學(xué)試題中提到的條件和有用信息，通過圖形的方法展現(xiàn)出來，通過圖形能夠明確地看出它們相互之間的關(guān)系，便于學(xué)生理解和解題思維的構(gòu)建.利用數(shù)形結(jié)合的類型在高中數(shù)學(xué)習(xí)題中較為常見，且方法多樣.

例4已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，滿足f（x-4）=-f（x），且函數(shù)在定義域［0，2］上為增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0），在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=______.

解析：根據(jù)題意可知，f（x）為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，且滿足f（x-4）=-f（x），所以f（4-x）=f（x）.因此，f（x）函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知，f（x-8）=f（x），可得函數(shù)周期為8.

又因?yàn)閒（x）在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間［-2，0］上也是增函數(shù)，則方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，可設(shè)x1

探究提高：以上是典型的數(shù)形結(jié)合題，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，但容易出錯(cuò)，因此在做題中需要仔細(xì)檢查.

當(dāng)前有許多高中依然采用機(jī)械的方法——大量地刷新題庫(kù)，在這種教學(xué)方式下，學(xué)生思維僵化而無創(chuàng)新能力，學(xué)習(xí)場(chǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)樽鲱}訓(xùn)練場(chǎng).高中階段是我們知識(shí)增長(zhǎng)的關(guān)鍵階段，因此要合理地運(yùn)用課外教材，將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，轉(zhuǎn)化思維方式，運(yùn)用多樣的做題方法，探索數(shù)學(xué)中最深處的知識(shí)內(nèi)涵，體會(huì)高中數(shù)學(xué)的魅力，化被動(dòng)的接受為主動(dòng)的接收，創(chuàng)建符合高中生最實(shí)際的解題平臺(tái)，為高考奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).H