深挖導數考題，拓展優化解法
——對一道高考導數壓軸題的解法探究

☉廣東省深圳市第二實驗學校 陶繼智

一、考題呈現，考點分析

1.考題呈現

題目 （2018年高考全國卷Ⅲ理科數學第21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（1）若a=0，試證明：當-10時，f（x）>0.

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a的值.

2.考點分析

本題為高考常見的導數壓軸題，綜合歷年考題來看，試題設計相對較為簡潔，第（1）問證明a=0時，f（x）在定義域內的大小，實際上考查利用函數的單調性來證明函數不等式，其中涉及了函數求導、不等式變形等；第（2）問，求x=0是f（x）的極大值點時a的值，考查學生對于極值點的理解、對于含參函數的性質分析以及函數零點的確定等內容，其中涉及眾多的解題思想，對學生的思維能力要求較高.

二、思路突破，深剖優化

（一）關于第（1）問的證明

1.常規求解

第（1）問給定了參數a的數值，可以理解為比較函數f（x）在定義域內與0的大小關系，最為常規的方法是構建f（x）在某自變量下的值為0，即f（x1）=0，從而結合函數以及導函數的單調性來完成證明，將大小比較轉化為函數性質分析，具體證明過程如下：

證明：當a=0時，f（x）=（2+x）ln（x+1）-2x，其一次導函數為，當-10時，f″（x）>0，則f′（x）單調遞增.所以f′（x）在x=0處取得最小值.因為f′（0）=0，所以f′（x）在區間（-1，+∞）上有f′（x）>0，即f（x）在區間（-1，+∞）內單調遞增.又因為f（0）=0，所以當-10時，f（x）>f（0）>0.

2.初步優化

上述求解過程進行了兩次求導，首先利用二次導函數來確定一次導函數的單調性，然后利用一次導函數來研究原函數的單調性，整個過程環環相扣，銜接緊密，但正是因為二次導函數的存在使得整個單調性的研究顯得較為雜亂，很容易對應錯誤，造成錯解.其實在分析一次導函數的單調性時可以適時地采用構造思想來構建一個新函數，對其單調性加以區分，具體優化過程如下：

證明：當a=0時，f（x）=（2+x）ln（x+1）-2x，一次導函x+1在區間（-1，+∞）上始終大于0，只需研究分子的單調性即可.令g（x）=（1+x）ln（x+1）-x，則g′（x）=ln（1+x），當-10時，g′（x）>0，則g（x）單調遞增.又因為g（0）=0，所以g（x）在區間內始終大于等于0，進而可知f′（x）≥0，則f（x）在定義域內單調遞增，且f（0）=0，所以當-10時，f（x）>0.

3.深度優化

雖然上述解法采用構造新函數的方式對求導過程進行了一定的優化，但依然屬于常規的整體求導分析.實際上，定義域為（-1，+∞），因而函數中具有一隱含特點：x+2>0，因此當a=0時，可將函數整理為f（x）=符號即可，同樣可以采用構造新函數的方式，這樣僅通過一次求導就可以確定函數的零點，進而證明問題，具體證明過程如下：

又g（0）=0，則當-10時，g（x）>0.

所以當-10時，f（x）>0.

（二）關于第（2）問的求值

1.常規求解

求x=0時f（x）的極大值點時參數a的值，首先需要理解何為極值點，并區分導數為0的點與極值點的關系，即是否導函數等于0就一定存在極值點，因此解題的思路是討論f（x）在x=0附近的單調性，并判斷f（x）與f（0）的大小關系，由于參數a沒有范圍限制，所以需要采用分類討論的方式對其加以分析，需要注意的是要充分結合第（1）問的性質分析.

解：①若a≥0，當x>0時，f（x）≥（2+x）ln（x+1）-2x>0，此時的x=0不是f（x）的極大值點，不符合題意.

②若a<0，討論f（x）在x=0附近的單調性，

由于（x+1）3在定義域內始終大于0，因此f′（x）的符號由分子決定.令g（x）=2ax2+（6a+1）x+6a+1，則g（x）的圖像的對稱軸為任意的a<0，g（x）在定義域（-1，+∞）上均單調遞減.

2.解法優化

上述第（2）問求解時為確定f（x）在x=0附近的單調性，對函數進行了三次求導，雖然思維難度一般，但分析過程較為煩瑣.實際上，對于第二步a<0的討論，可以等價轉化為討論函數下面進行詳解：

全國卷Ⅲ的這道導數壓軸題相對而言屬于常規的考題，由于參數a的存在使得問題的分析過程需要進行分類討論，使用常規的分析思路也可以完成，而該考題的優點在于其解法的拓展性及思維的層次性，有利于考生根據自己的思維能力來調整解法，充分挖掘問題的隱含信息，對函數進行等價轉化，實現問題的巧妙求解.其中的等價轉化思想是問題優化求解的重要思想方法，是思維變通解題的踐行.

三、解后反思，教學思考

1.強化基礎知識，嚴謹求解論證

導數是研究函數性質的重要工具，高考對于導數的考查也逐步趨向于綜合性，上述考題雖然問題設置較為簡單，但由于所研究函數具有復合性，求解過程除了需要多次求導，還需討論參數的取值，其中必然涉及眾多的知識內容.充分理解極值點、零點、拐點等基本定義，掌握函數求導、單調性研究的基本方法是求解函數綜合題的基礎，尤其是復雜函數的求導方法，直接影響到函數性質的分析過程，需要在理解的基礎上對其加以歸納.另外，需要注意的是要準確理解函數的極值點，不能簡單地根據導數為零來妄下結論，任何 脫離函數單調性來討論極值點的行為都是空談.數學是一門嚴謹的學科，不僅體現在研究過程上，還體現在對基礎知識的充分理解上.

2.深度探討問題，優化解題方法

高考導數壓軸題除了考查學生的基礎知識，同時也注重考查學生的思維，通過研究導函數的單調性來研究原函數的性質是問題求解的總體思路，但不同的思維層面所獲得的求解思路是不盡相同的，雖然都可以獲得最終的答案，但基于對概念的原始理解進行的求解相對而言更為繁復，容易陷入思維困境，如上述考題的常規解法不僅需要對函數進行多次求導，在單調性研究時也更為復雜.高考題的優點在于解法的多樣性，適時地優化解法，采用構造函數、等價轉化等策略往往可以有效降低思維難度，使得求解過程簡練清晰，同時解法優化的過程，也是對考題的深層思考，對于認識問題本質，升華解題策略有著極為重要的作用.

3.滲透思想方法，提升解題思維

導數壓軸題的另一個重要考查意義是對學生數學思想的提升，如上述對含參函數性質的分析過程涉及了分類討論、等價轉化等思想，正是在數學思想的指導下使得問題的分析思路更為明確，求解過程更為簡潔，解題過程表面上是知識的綜合過程，實際上也同樣是思想方法靈活運用的過程.因此在教學過程中，教師有必要結合考題滲透思想方法，必要時采用數形結合的方式，多角度、多層面展開問題分析，使學生充分體會數學思想的指導意義，逐步形成自我的解題思路，獲得數學思想的提升.

四、寫在最后

導數壓軸題在高考中的考查力度越來越大，不僅注重對知識內容、解題思維的考查，也逐步向思想方法層面滲透.依托思想方法，實施解法優化策略應成為導數題的重要學習內容；從不同角度分析問題，挖掘問題隱含信息，充分利用導數的工具性應成為解法探究的重要環節；深入探究考題，靈活運用技巧，激發思維的創造性是提高解題效率的重要途徑，從知識內容、解題技巧、思想方法多層面學習才能真正提升數學的解題能力.