利用多種思維技巧 優(yōu)化函數(shù)問(wèn)題的解法

☉重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校 楊 梅

數(shù)學(xué)，擁有非常廣泛的知識(shí)面，學(xué)生如果對(duì)其進(jìn)行更加深入地探索也許會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處都有函數(shù)的影子.學(xué)習(xí)函數(shù)不僅可以幫助學(xué)生掌握有關(guān)這方面的知識(shí)，同時(shí)還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中觸類旁通，能夠熟練地去解決同類的其他問(wèn)題，靈活運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思維.

一、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題

在研究二次函數(shù)圖像上閉區(qū)間的二次函數(shù)的最值時(shí)，可以首先找一些代入性的例題進(jìn)行初步的了解.比如下面這道簡(jiǎn)單的例題：

例1 在一個(gè)農(nóng)場(chǎng)里修籬笆，農(nóng)場(chǎng)主手里有60米的木材，修筑的籬笆場(chǎng)地其中有一條邊是臨墻的，此時(shí)設(shè)這塊被圍的場(chǎng)地邊長(zhǎng)為x米，場(chǎng)地面積為y平方米，請(qǐng)寫出x與場(chǎng)地面積y的函數(shù)關(guān)系式，并且求x為何值時(shí)，籬笆場(chǎng)地面積最大？

這是一道簡(jiǎn)單的二次函數(shù)試題，解題過(guò)程如下：解：設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為（60-2x）米，

y=x（60-2x）=-2x2+60x.

y=-2x2+60x=-2（x2-30x）=-2（x-15）2+450.

所以也就可以得出當(dāng)邊長(zhǎng)為15時(shí)，所圍面積最大為450.

在這個(gè)求解過(guò)程中，同學(xué)們就可以對(duì)二次函數(shù)有一個(gè)大致的了解.在接下來(lái)還需要進(jìn)一步分析和探究.

例2已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（1）=2，在x=t處取得最值，若y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x2+2x-3.

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）若x∈［-1，2］時(shí)，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范圍.

解：（1）設(shè)f（x）=a（x-t）2+b，又因?yàn)閒（x）+g（x）=x2+2x-3，所以a=1，即f（x）=（x-t）2+b.

又f（1）=2，代入得（1-t）2+b=2，得b=-t2+2t+1，

所以f（x）=x2-2tx+2t+1.

（2）利用二次函數(shù)圖像求函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)的最小值，只需f（x）min≥-1即可.

①當(dāng)t≤-1時(shí)，f（x）min≥-1不成立；

②當(dāng)-1

③當(dāng)t≥2時(shí)，（fx）min=（f2）≥-1，得t≤3，所以2≤t≤3.

以上兩道試題的解答，就是幫助我們?cè)诮佑|二次函數(shù)的過(guò)程中逐漸體會(huì)二次函數(shù)的解題類型從而掌握更加系統(tǒng)的方法.

二、二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題

通過(guò)結(jié)合圖像的方式，幫助我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，能夠更加清晰地掌握與函數(shù)的單調(diào)性以及最值有關(guān)的內(nèi)容.

例3設(shè)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t）.求g（t），并畫出y=g（t）的圖像.

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時(shí)取最小值-2.

當(dāng)1∈［t，t+1］，即0≤t≤1時(shí)，g（t）=-2；

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=f（t）=t2-2t-1；

當(dāng)t＞0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t2-2.

在這個(gè)解題的過(guò)程中，我們開(kāi)始意識(shí)到二次函數(shù)在特定的范圍內(nèi)存在最值，這個(gè)最值可能是最大值也可能是最小值，而且一旦情況發(fā)生變化，這個(gè)最值的情況也會(huì)隨之變動(dòng)，這也就要求我們?cè)谶\(yùn)用數(shù)學(xué)思維求解二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)一定要綜合考慮，熟練掌握公式各部分之間的含義，這樣才能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)掌握一個(gè)更加科學(xué)合理的方法.

三、兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)及其他問(wèn)題

二元一次方程和二元一次方程組的求解，不等式和不等式組等知識(shí)點(diǎn).利用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)解方程和方程組，實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化思路，把方程兩邊的式子作為一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，畫出兩邊式子在坐標(biāo)系中的圖像，然后計(jì)算兩邊式子的交點(diǎn)，交點(diǎn)其實(shí)就是方程和方程組的解.圖形和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也有特定的含義，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索.解決函數(shù)、方程、方程組、不等式等題目，通常計(jì)算起來(lái)比較復(fù)雜麻煩，難以判斷的是解的個(gè)數(shù)，這時(shí)通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法對(duì)習(xí)題的答案的個(gè)數(shù)一目了然，并且有利于接下來(lái)計(jì)算的進(jìn)行.

四、利用數(shù)形結(jié)合思想方法解決復(fù)雜問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合方法本質(zhì)就是把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，把抽象的代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的幾何知識(shí)來(lái)進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)兩者的互相補(bǔ)充，互相轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得更加深刻.

例4 如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么最大值是什么？

圖1

這道題就是通過(guò)坐標(biāo)系，把求比值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在坐標(biāo)系中求一條直線的斜率問(wèn)題，把問(wèn)題簡(jiǎn)化了.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，能夠極大地減少不必要的計(jì)算，降低問(wèn)題的復(fù)雜程度，提高計(jì)算的準(zhǔn)確率.在以后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該被廣泛地采用，使問(wèn)題更加地直觀，高中數(shù)學(xué)的解題速度極大地提高.