基于學生思維發展的解題教學

☉江蘇省如東高級中學 楊曉華

單純講解參考答案的解題教學是無法展露學生思考的過程與問題的，因此，教師在具體的解題教學中應引導學生展開自主探究與合作交流并促使其解題思維得以完全展露，這對于培養學生分析問題、解決問題的能力來說是極其有效的.

某次數學活動中，某教師執教的一道解析幾何與向量的綜合題至今令筆者記憶猶新.本文結合該執教教師的具體教學以及自己的思考淺談一點想法.

問題1：已知點P（1，3）與⊙O：x2+y2=3，過點P作動直線l和⊙O相交于A，B兩點，在線段AB上取一點Q，滿足：（λ≠0，λ≠±1）.求證：點Q始終在某一定直線上運動，請嘗試求出該定直線的方程.學生在一定的思考后進行了一定的演算.師：大家以為解決此題應先設什么呢？（學生無應答）

師：題目中給出了一些向量的條件，因此我們可以先設各點的坐標.

師（板書）：方法1：設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）.

“不會吧？”“參數這么多要怎么辦？”“怎么會這么設呢？”種種疑問在學生竊竊私語中顯露出來，從學生的疑問來看，學生更多的思考集中在“為什么這么設”這一問題上，對于接下來應該如何解決此題并沒有多作思考.

師：然后對等式進行整理.

（學生未作反應）

師（板書）：即

此時，有少部分學生的思維與教師的解題產生了共鳴.

生1：根據①③兩式可得出x1，x2，根據②④兩式可得出y1，y2，將所得結果代入所在圓的方程即可消去參數x1，x2和y1，y2，點Q所在的直線方程應該也就好解了.

師（板書）：很好.

①×③，得x12-λ2x22=x0（1-λ2），⑤

②×④，得y12-λ2y22=3y0（1-λ2）.⑥

因為點A（x1，y1）、B（x2，y2）在圓x2+y2=3上，

⑤+⑥，得3-3λ2=（x0+3y0）（1-λ2）.

又因為λ≠±1，因此x0+3y0=3.

故點Q始終在定直線x+3y=3上運動.

聽課老師聽課至此均發出了贊許聲，執教教師將題中向量與設點間的關系進行了小結便進入了下一題的例題講解.筆者以為，聽課教師所表達的贊許應該是對學生給出的.事實上，執教教師對這一例題的講解仍然有可以完善補充的.學生在教師講解此題的過程中并沒有表現出對這一解法較高的接受程度，在學生身上表現得更為明顯的是學生對解題方法如此精巧的感嘆，學生對此題解題思路的由來并沒有作出更多的感知與思考.事實上，遵循學生的思路可以得出以下方法.

兩式相減，得2（2x0+6y0）（1-λ）2=12-12λ2.

又因為λ≠±1，因此x0+3y0=3.

故點Q始終在定直線x+3y=3上運動.

平方相加再進行整理雖然看上去比較復雜，但整理方向卻會因為式子的結構特點而變得更加明確，看似繁雜的過程卻沒有太大的難度.事實上，在解題時，我們不難發現，直線l繞著點P旋轉才是造成點Q如此運動的根源，因此，問題歸結為直線l的斜率并可得出以下解法.

方法3：當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）.則l：y=k（x-1）+3，把直線方程代入圓方程并整理可得（1+k2）x2+2k（3-k）x+（3-k）2-

綜上，點Q始終在定直線x+3y=3上運動.

這一例題是筆者在課堂上跟學生討論過的，學生首先提出的方法就是引入斜率進行解題.方法3與方法1相比雖然運算量較大，但學生能抓住直線的斜率這一本源，同時，學生受方法1的影響還想到了從其他角度來運用坐標間關系的方法，這就是此題的第4種解法.

故λx2=x1+λ-1，λy2=y1+3（λ-1）.

又因為A，B兩點均在圓x2+y2=3上，所以x12+y12=3，且=（x1+λ-1）2+（y1+3λ-3）2=3λ2，即2x1+6y1=3（λ+1）-10（λ-1）.

故（1+λ）x0=x1+λx2=2x1+λ-1，（1+λ）y0=y1+λy2=2y1+3λ-3.

所以（1+λ）x0+3（1+λ）y0=3（1+λ），

故點Q始終在定直線x+3y=3上運動.

執教教師在此題的教學中是基于例題已有答案對學生進行引導與啟發的，學生已有的認知結構與題目的內在規律并沒有受到執教教師的重視，執教教師首先設了點的坐標并根據答案對式子進行了加工，但學生對教師此舉的意圖卻未能領會，在教師要求學生觀察式子左邊的結構特點之后學生才獲得了教師想要的答案.這是完全按照答案所進行的解題教學，學生的思維在這一過程中并未得到暴露，他們在教師的解題思路下進行了順從性地參與，看似得到了完美的答案，但實際上，學生思維的發展卻是遠遠不夠的.因此，局限于教材參考答案的教法是狹隘的，教師在具體教學中不僅要引導學生進行多角度的思考，還應引導學生在橢圓的題型中拓展思維.

（2）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于A，B兩點時，在線段AB上取一點Q，滿足|A—→P|·|Q—→B|=|A—→Q|·|P—→B|，證明：點Q始終在某定直線上.（證明略）

這兩個問題可以讓學生進行自主思考，學生在積極思考以及方法的比較與篩選中會對運用的知識與方法形成有效的鞏固，尋求本源且優化思維的效果也會在這一過程中順利達成.因此，本課的解題教學不應只有問題1這一道例題，教師在問題1的具體教學中也應引導學生在自主探索、小組討論、踴躍展示以及師生互動中展開問題的探索與思考，而且還應在此基礎上輔助問題2與問題3以令學生得到知識的鞏固與能力的鍛煉.

學生在已有知識、能力與經驗的基礎上主動獲得知識才是建構主義理論下學習的真正內涵，因此，教師在具體教學中始終應從學生的角度出發并引導學生自主分析與解決問題，使學生能夠在解題中充分暴露自己的思維并激發出更多的解題靈感，那些遵循答案走“過場”的解題教學往往無法實現學生思維的探索、重組與優化.H