高考中橢圓試題的解法探源

☉山東省肥城市第一高級中學 劉子昂

縱觀近年高考數學試卷中的選擇題和填空題，圓錐曲線中涉及橢圓的題目出現的頻率非常高，亮點也頗多.要處理好此類問題，除了熟練掌握橢圓的定義、方程與幾何性質外，還要結合題目中的已知條件，準確巧妙用好題中對應的特殊點，從而避免少走彎路，達到快速、有效、準確解題的目的.

一、求線段的長度

例1 已知O為坐標原點，設F1，F2分別是橢圓的左右焦點，P為橢圓C上任意一點，自點F1作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|=（ ）.

A.a B.b C.2a D.2b

分析：常規方法是確定點P的位置，連接PF1，PF2，延長F1H交PF2的反向延長線于點Q，結合角平分線的性質以及橢圓的定義得到|QF2|=2a，再結合中位線定理即可得到|OH|的值，利用橢圓的定義來處理，要求必須數形結合，并借助平面幾何的相關知識來處理，技巧性要求高.而通過特殊點的選取，淡化橢圓的相關定義與幾何性質，簡化運算，可以更為有效快捷地處理與解決問題.

解：由于點P為橢圓C上任意一點，取其特殊點P位于橢圓C的左頂點處，此時P，F1，F2三點都在x軸上，那么∠F1PF2為零角，則自點F1作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為H，此時垂線為x=-a，P，H重合，可得|OH|=a.故選A.

點評：對應變化不定的點的位置問題，同時涉及相關角的外角的角平分線以及垂線問題，處理起來要數形結合，而通過特殊點的選取，處理起來更為直觀快捷，從而省去對橢圓定義的巧妙轉化與應用，以及平面幾何中相關知識的綜合與應用，使得一般問題特殊化，操作起來更為特殊，且不失一般性，求解更加快捷易求.

二、離心率的確定

分析：常規方法是設出點P的坐標，根據平面向量的坐標運算并結合PF—→1·PF—→2<0建立不等式，再通過點P的坐標所滿足的條件加以代換，結合橢圓的離心率公式以及隱含條件來確定離心率的取值范圍問題，處理起來計算量比較大.而通過取特殊點P位于橢圓C的上頂點處，假定此時∠F1PF2為直角，求解此時橢圓的離心率，并結合鈍角的性質以及離心率的隱含條件來確定橢圓C的離心離的取值范圍，數形結合直觀，求解轉化巧妙.

圖1

點評：對于無法確定的點的存在性問題，巧妙借助以F1F2為直徑的圓與橢圓的關系來確定∠F1PF2的情況，利用∠F1PF2為直角時橢圓離心率的取值，并加以數形結合直觀來分析滿足條件時橢圓的離心率的取值情況.這樣處理問題可以更有效地簡化計算，同時數形結合更為直觀，省去繁雜的推理與運算過程，提高效益.

三、關系式的轉化

分析：常規方法是設出∠IF1F2=α與∠IF2F1=β，得到kIF·

1kIF2=-tanαtanβ，延長F1P到點Q，且|PQ|=|PF2|，通過邊角之間的關系轉化.在△QF1F2中，結合正弦定理得到對應的關系式，并利用兩角和與差的余弦公式來處理，涉及的知識點比較多，計算也比較繁雜.而通過特殊點的選取，使得點P位于雙曲線C的上頂點處，方便確定△PF1F2的內切圓I的位置，設出圓的半徑，可以簡單快捷地在直角三角形中確定對應邊之間的關系，結合勾股定理即可確定r的關系式，同時對應直線的斜率也比較方便處理與轉化.

解：由于點P是橢圓C上的一個動點，取其特殊點P位于橢圓C的上頂點處，如圖2.

設△PF1F2的內切圓I的半徑為r，結合內切圓的性質并利用勾股定理可得（a-c）2+r2=（b-r）2，整理有

圖2

點評：對應變化不定的點的位置問題，通過特殊點的選取，使得對應三角形的內切圓位置的確定、直線的斜率的求解等變得更為方便易求，處理起來更為直觀快捷，從而省去對橢圓定義、平面幾何、三角函數等綜合知識的熟練掌握與應用，使一般問題特殊化，運算起來更為快捷方便，而且不失一般性.

四、幾何圖形的處理

分析：常規方法是設出點P的坐標，進而確定直線PA的方程，求解點M的縱坐標，從而計算|BM|的值.同理計算|AN|的值，再結合四邊形ABNM的面積公式加以轉化與化簡，進而確定對應的面積.而通過特殊點的選取，利用點P的極端情況，巧妙轉化四邊形ABNM為極端三角形問題，進而結合三角形的面積公式來求解，通過極端思維處理，更為快捷簡單.

解：設A1（-2，0），B1（0，-1）.

當P→A1時，此時四邊形ABNM→△AA1B，此時S△AA1B=

當P→B1時，此時四邊形ABNM→△ABB1，此時S△ABB1=

而P為第三象限內一點且在橢圓C上，根據“兩邊夾”原理知，四邊形ABNM的面積為2.

點評：對于變化不定的四邊形問題，通過特殊點的選取，結合極端思維，使得平面圖形簡單化，借助“兩邊夾”原理，從而求解起來更為直觀簡單，處理方式更為巧妙，簡化運算，提升效率.涉及平面幾何圖形的求解問題，經常采取此特殊法處理，尋找特殊的線段、三角形、四邊形等特殊圖形來分析與處理，從而使得問題解決起來更直觀有效.

其實，圓錐曲線中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中常考的重要知識點之一，對于考查的選擇題和填空題，有時題目比較容易，有時題目比較難，都不要輕視，要巧妙通過動手、動腦，融會貫通，化一般為特殊來巧妙處理，真正達到“動后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解題效果，全面培養數學素養，提升數學能力.H