例談導數教學的幾個突破點

☉江蘇省平潮高級中學 陳云芬

眾所周知，導數是解決函數問題的重要工具．以微積分初步知識起步的高中導數，極為細致地講述了導數的概念、導數在切線問題中的應用、導數對于函數問題解決的重要作用（導數正負性對于函數單調性的影響及求最值的作用）等．但是學生在導數學習中并沒有能夠學得非常扎實，其往往在教學中存在較大的困難，導致教師導數教學較難進行，這主要涉及幾個原因：

第一，中學數學教材中的導數是不完整的導數，其缺失了極限知識為背景，導致導數真正的“微”這一概念未能有效形成，讓不少導數相關概念在學生腦海中模棱兩可.比如，為什么在某些點處是不可導的？為什么切線是用割線的極限位置去定義的？極值是微小量的概念等．學生學習起來困難重重，這是教材體系的問題.

第二，缺乏必備的極限知識，導致公式的證明沒有辦法進行，很多導數公式是要求學生強行記憶的，這樣的數學教學可想而知，這已經成為強行背誦公式，談何理解？談何運用？數學知識是理解性的記憶（章建躍博士語），如今的導數教學起步階段較為困難.

第三，導數是一種工具，解決更為復雜函數的工具，運算是首要保障，但往往有時候導數基本功不扎實，導致無法進一步求解.

最后，導數問題的研究其本質是函數問題的研究，這里最核心的難度還是在于函數問題的研究，這里的數學問題解決能力比對函數問題的思考更需要教師關注，本文結合案例給出一番自己的思考．

一、切線的突破

中學數學以往對切線的研究方式方法比較局限，而且曲線類型也比較局限，一般只能針對二次類曲線．有了導數工具之后，我們對曲線的切線認知也大大推進了一步．用來表述割線的斜率，進而用極限的思想來無窮小，獲得了切線的概念，因此切線的求解成為導數教學的重要關注點．

（3，1）處的切線方程．

分析：本題是求曲線在某點處的切線方程，是學生需要掌握的基本問題．

簡解：因為y′=x2-2x，所以k切=9-6=3，而切點為（3，1），所以切線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8．

分析：學過導數后，我們知道了相切僅僅是一個微小的概念，是指該點的附近．因此本變式思考的方式已經不同于例1，要從該點是否是切點的角度去思考，顯然更為復雜．

所以切線方程為y=1或y=3x-8．

設計意圖：將變式與原題進行了對比，并采用圖形的方式進行了感官再認知，我們不難發現，經過該點的切線，該點并不一定是切點，這是審題發現的最大差別．有了上述兩個問題的基本功之后，切線教學需要向更有深度的問題前進，即如何轉化！

二、分類討論的突破

分類討論對于函數來說是一種較為平常的數學思想.導數的工具性作用主要體現在兩個方面，其一是如何選擇函數的分類，其二是為什么這么分類．不同的函數選擇，對于求導和后續求解都有一定的影響，要突破分類討論，既需要一定的前瞻性，還需要函數的深厚功力．

例2已知函數f（x）=plnx+（p-1）x2+1，當p>0時，討論函數f（x）的單調性．

綜上，實數a的取值范圍是a≤0.

變式2已知函數f（x）=x2-x+alnx（a∈R），討論f（x）在定義域上的單調性.

設計意圖：利用導數解決函數的分類討論，其實更為本質的是對函數問題的分析.本題以中學數學的重要函數——二次函數為例，從二次項系數、一次項系數等環節進行了分析，理解各級字母對二次函數分類的影響是學習二次函數問題分類的關鍵，從這一點來說，導數教學還需要與二次函數教學緊密結合，獲得更多的實踐操作，加以積累.

總之，導數問題是一個綜合性的知識能力運用的節點，需要教師更多地以專題的形式展開教學，才能在難點中有所突破.筆者才疏學淺，僅僅以這些淺顯的問題拋磚引玉，希望能從讀者處獲得更好的教學效益.