妙解例題看數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

☉山東省肥城市泰西中學(xué) 李家鑫

數(shù)學(xué)建模是高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中必備的技巧技能，其是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.

一、建立函數(shù)與方程模型

例1若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0）在區(qū)間［1，2］上有兩個不同的零點，則

分析：常規(guī)的方法是根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化建立起相應(yīng)的不等式組，利用線性規(guī)劃來處理.而涉及二次函數(shù)已知零點的分布求解參數(shù)的取值范圍問題時，可以采用使用二次函數(shù)的零點式模型的建立，將參數(shù)化歸為零點組合式的取值范圍問題，結(jié)合題目條件加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用即可.

解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0）在區(qū)間［1，2］上的兩個不同的零點分別為x1，x2，其中1≤x1

點評：巧妙借助二次函數(shù)的零點式的數(shù)學(xué)模型的建立，代入對應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合不等式的性質(zhì)來確定相應(yīng)關(guān)系式的取值范圍.處理起來更直接，解決問題更直觀.建立模型直觀有效，且更切入實質(zhì)，達到快速解決問題的目的.

二、建立平面幾何模型

例2（2018屆江蘇省南師大附中、淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、天一中學(xué)高三2月聯(lián)考·14）已知a>1，b>2，則的最小值為______.

分析：常規(guī)的方法是通過引入?yún)?shù)，結(jié)合基本不等式、導(dǎo)數(shù)、待定系數(shù)法等思維來分析，解答過程比較繁雜.而通過構(gòu)造平面幾何模型，數(shù)形結(jié)合再利用基本不等式來處理，非常簡單有效，直觀易懂.

解：由于a>1，b>2，如圖1，構(gòu)造平面幾何模型，記h=|CD|=>0，則（a+b）2≥|CE|2=|CD|2+|DE|2=h2+（1+2）2=h2+9.

圖1

故所求最小值為6.

點評：根據(jù)題目的條件建立相應(yīng)的平面幾何概型，通過兩個直角三角形的關(guān)系，結(jié)合三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的最值，可以達到“秒殺”的效果.對平面幾何模型的構(gòu)造必須具有非凡的想象力與創(chuàng)新力.

三、建立平面向量模型

分析：常規(guī)的方法是結(jié)合相應(yīng)的關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式、不等式的性質(zhì)或柯西不等式等來解決最值問題.而通過建立平面向量，利用平面向量的數(shù)量積公式的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，可以有效地進行放縮達到確定最值的目的.

解：根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)（m-n）2=m2+n2-2m·n≥0，可得2m·n≤m2+n2.

設(shè)平面向量m=（a，1），n=（1，b），可得2（a+b）≤a2+1+1+b2=a2+b2+2.

故所求最小值為2.

點評：借助平面向量模型的建立，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)（m-n）2=m2+n2-2m·n≥0，即2m·n≤m2+n2，通過設(shè)出對應(yīng)的向量加以應(yīng)用，進而對相應(yīng)的分母進行放縮法處理，達到兩者同分母，結(jié)合分式的運算加以確定雙變元代數(shù)式的最小值問題.模型建立比較常規(guī)，解決問題有效.

四、建立立體幾何模型

圖2

分析：常規(guī)的方法是根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合定義、向量、坐標法等思維來解決問題，從而達到解決平面圖形折疊與轉(zhuǎn)化的目的.而借助立體幾何模型，先作出輔助線，確定HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角，根據(jù)翻折時HF所對應(yīng)的立體幾何模型的特征，結(jié)合圓錐的性質(zhì)來確定兩直線的夾角問題，從而求解異面直線所成的角.

解：如圖3，過點F作FH∥EB交AD于點H，則HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角.

圖3

將△ABD沿對角線BD翻折時，HF所對應(yīng)的軌跡恰好是以HG（G為DC上靠近D點的四等分點）為底面圓直徑、DF為對稱軸的圓錐的母線.

結(jié)合模型可知，母線位于HF或GF時，此時HF與CF所成的夾角為，母線位于CF的垂面上時，此時HF與CF所成的夾角為.

點評：在解決立體幾何的翻折問題時，在翻折過程中，有些量是不變的，而有些量是改變的，直接處理起來難度比較大.而借助立體幾何模型，以直觀的形式來解決平面、旋轉(zhuǎn)、折疊等問題，通過直觀立體幾何模型來分析，很好地達到目的.

五、建立解析幾何模型

例5 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數(shù)λ的取值范圍是______.

分析：常規(guī)的方法是結(jié)合正弦定理、三角恒等變換公式等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，達到求解參數(shù)的取值范圍.求解思路較一般，過程繁雜.而通過條件a+b=2c建立點C的軌跡方程——橢圓，利用橢圓的幾何性質(zhì)來處理與解決，更為直觀快捷.

解：如圖4，以A，B為焦點，且滿足a+b=2c的點C的軌跡方程是橢圓，其對應(yīng)的標準方程為

圖4

當C趨近于長軸的頂點時，此時h→0，λ→-∞.

點評：特殊在解決一些代數(shù)問題、三角問題中，涉及定和、定差、定距離等問題，經(jīng)常建立與之相關(guān)的橢圓、雙曲線、圓的軌跡，利用解析幾何模型來處理，往往可以有效利用解析幾何知識來轉(zhuǎn)化，達到有效處理與解決問題的目的.

數(shù)學(xué)建模能積極有效地啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性思維，開啟學(xué)生的智力發(fā)展，用科學(xué)的方法將凌亂的知識系統(tǒng)化、深入化、拓展化，從而在提高學(xué)生的思維能力與思維品質(zhì)方面表現(xiàn)出獨特的效果，真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神，提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).H