例談不等式在高考解題中的應(yīng)用

☉山東省肥城市第一高級中學(xué) 楚嵐天

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是每年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題比較常見的考查方式，往往通過將不等式轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)最值來證明不等式，其主要解題思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，通過求導(dǎo)直接求得函數(shù)的最值（最大值或最小值），然后由f（x）≤f（x）max或f（x）≥f（x）min的轉(zhuǎn)化來直接證得不等式.而由于證明不等式時(shí)所轉(zhuǎn)化的函數(shù)形式各樣，切入點(diǎn)較多，證明的方法也各不一樣.

一、真題在線

例題（2018·全國卷Ⅰ文·21）已知函數(shù)f（x）=aexlnx-1.

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

分析：（1）通過求導(dǎo)得到f′（x），由f′（2）=0即可確定參數(shù)a的值；再由f′（x）的正負(fù)取值來確定f（x）的單調(diào)區(qū)間.（2）結(jié)合條件所要證明的不等式，即轉(zhuǎn)化為證明f（x）的最小值f（x）min≥0.

二、思維方法

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0.

所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）證法1：官方標(biāo)準(zhǔn)答案——構(gòu)造函數(shù)法.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0.

所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn).

故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥g（1）=0.

證法2：構(gòu)造函數(shù)法.

設(shè)g（x）=ex-1-x，則g′（x）=ex-1-1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥g（1）=0.所以ex-1≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.

以上不等式兩邊取對數(shù)可得x-1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號成立.

從而x≥lnx+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.

所以ex-1≥x≥lnx+1.

證法3：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù).

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)，最小值為g（1）=ae≥1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減.

所以x=1是h（x）的最大值點(diǎn)，最大值為h（1）=1.

證法4：分離參數(shù)法.

當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減.

因?yàn)閔（1）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，從而g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，從而g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減.

證法5：分析法.

設(shè)g（x）=ex-ex，則g′（x）=ex-e.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)，最小值為g（1）=0，所以ex≥ex成立.

故欲證明aex-lnx-1≥0，只需證明x-lnx-1≥0.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增.

所以x=1是h（x）的最小值點(diǎn)，最小值為h（1）=0.

所以x-lnx-1≥0成立.

三、技巧總結(jié)

（1）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問題的常用方法概括起來主要有以下幾種：

①直接將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化成某個(gè)函數(shù)的最值問題.

若證明f（x）＜g（x），x∈（a，b），可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）＜0，則F（x）在（a，b）上是減函數(shù)，同時(shí)若F（a）≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈（a，b）時(shí)，有F（x）＜0，即證明了f（x）＜g（x）.

②將待證不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較來證明.

在證明不等式中，若待證不等式無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，此時(shí)往往可借助兩個(gè)函數(shù)的最值來證明，例如，要證明f（x）≥g（x）在D上成立，只需證明f（x）min≥g（x）max即可.

③若所證函數(shù)不等式通過移項(xiàng)后構(gòu)成新函數(shù)的最值易求，可直接通過移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明.

（2）構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的基本步驟如下：

①作輔助函數(shù)h（x），一般取不等號兩端的函數(shù)之差或之商為輔助函數(shù)；

②對h（x）求導(dǎo)，并確定h′（x）在區(qū)間上的符號；

③判斷h（x）的單調(diào)性；

④求出h（x）在所給區(qū)間上的極值；

⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或極值的符號證明所需證明的不等式.

若所證不等式兩邊關(guān)于某一變量的關(guān)系式的構(gòu)成比較復(fù)雜，直接構(gòu)造函數(shù)后不易求導(dǎo)數(shù)或所求導(dǎo)數(shù)式不易研究函數(shù)性質(zhì)，可先換元后再求解.H