初中數(shù)學(xué)常見最短距離問題及解法

余 立

（廣東省廣州市越秀外國(guó)語學(xué)校，廣東 廣州）

初中數(shù)學(xué)中，幾何最短距離問題一直是重點(diǎn)題型之一，主要考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，現(xiàn)以近幾年常見的試題為例，介紹一些常用的方法。

一、利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求最值

例題1：如圖1，已知A、B兩點(diǎn)在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)（如圖2）。

圖1

圖2

圖3

圖4

幾何最值問題通常為最短路線問題的引申，會(huì)與三角形、正方形、圓等圖形結(jié)合，通過幾何變換，找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，這類題解答的關(guān)鍵在于“平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本原理。

例題2：如圖3，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則哪條線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值？

解：連接 PC（如圖 4），

∵AB=AC，BD=CD

∴AD⊥BC

∴PB=PC

∴PB+PE=PC+PE

∵PE+PC≥CE

∴P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度。

圖5

圖6

例題3：如圖5所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，求PD+PE的最小值。

解：設(shè) BE 與 AC 相交于點(diǎn)F（P′），連接BD（如圖6）；

∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱

∴P′D=P′B

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE 最小

即P在AC與BE交點(diǎn)處時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度。

∵正方形ABCD的面積為12

∵△ABE是等邊三角形

由以上例題可知，解決這類最值問題，要認(rèn)識(shí)到動(dòng)點(diǎn)所在直線為對(duì)稱軸，軸對(duì)稱的作用在于改變點(diǎn)的位置關(guān)系，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。當(dāng)所求最小距離的兩個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)時(shí)，則需要通過將曲面進(jìn)行鋪平處理，先求平面展開圖，將曲面問題轉(zhuǎn)換為平面問題。

圖7

圖8

例題4：如圖7，圓柱的底面周長(zhǎng)是14，圓柱高為24，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點(diǎn)A爬到與之相對(duì)的上底面點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少？

解：將此圓柱展成平面圖（如圖8）得：AB即為所求。

∵圓柱底面周長(zhǎng)為14，高為24，

即 BB′=14，AC=24

例題5：如圖9是長(zhǎng)為5，寬為4，高為3的長(zhǎng)方體，一只螞蟻從頂點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)B的最短距離是多少？

【分析】：A、B在同一平面，長(zhǎng)方體展開圖有三種可能（如圖10），然后分別求出AB的長(zhǎng)度，比較大小即可求得最短路程。

圖9

圖10

二、利用“垂線段最短”求最值

例題6：如圖11，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD；

（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

圖11

圖12

（2）在（1）的條件下，

①證明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值。

【分析】：②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接EK，作 KH⊥AB 于 H，連接 MK；由 MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)（如圖12）。

例題7：如圖13，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED；連接AE，若AB=6cm，

圖13

求：①求sin∠EAD的值；

②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間。

【分析】：②作 PF⊥AD 于F，已知 PF=AP·sin點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間當(dāng) O、P、F 共線且PF⊥AD時(shí)，OP+PF最短。

綜上所述，利用圖形變化解決最短途徑問題，基本解題思路是在不改變線段長(zhǎng)度的前提下，運(yùn)用對(duì)稱變化把對(duì)稱軸同側(cè)的兩條線段轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸的兩側(cè)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”原理，把“折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最短位置，求出最小值。