初中數學常見最短距離問題及解法

余 立

（廣東省廣州市越秀外國語學校，廣東 廣州）

初中數學中，幾何最短距離問題一直是重點題型之一，主要考查學生的綜合運用能力，現以近幾年常見的試題為例，介紹一些常用的方法。

一、利用“兩點之間，線段最短”求最值

例題1：如圖1，已知A、B兩點在直線l同側，在直線l上找一點P，使得PA+PB最小。

解：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，則點P即為所求的點（如圖2）。

圖1

圖2

圖3

圖4

幾何最值問題通常為最短路線問題的引申，會與三角形、正方形、圓等圖形結合，通過幾何變換，找到關于動點所在直線的對稱點，運用數形結合思想解決問題，這類題解答的關鍵在于“平面內兩點之間線段最短”這一基本原理。

例題2：如圖3，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則哪條線段的長度等于BP+EP最小值？

解：連接 PC（如圖 4），

∵AB=AC，BD=CD

∴AD⊥BC

∴PB=PC

∴PB+PE=PC+PE

∵PE+PC≥CE

∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度。

圖5

圖6

例題3：如圖5所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，求PD+PE的最小值。

解：設 BE 與 AC 相交于點F（P′），連接BD（如圖6）；

∵點B與點D關于AC對稱

∴P′D=P′B

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE 最小

即P在AC與BE交點處時，PD+PE最小，為BE的長度。

∵正方形ABCD的面積為12

∵△ABE是等邊三角形

由以上例題可知，解決這類最值問題，要認識到動點所在直線為對稱軸，軸對稱的作用在于改變點的位置關系，利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短解決問題。當所求最小距離的兩個點不在同一平面內時，則需要通過將曲面進行鋪平處理，先求平面展開圖，將曲面問題轉換為平面問題。

圖7

圖8

例題4：如圖7，圓柱的底面周長是14，圓柱高為24，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點A爬到與之相對的上底面點B，需要爬行的最短距離是多少？

解：將此圓柱展成平面圖（如圖8）得：AB即為所求。

∵圓柱底面周長為14，高為24，

即 BB′=14，AC=24

例題5：如圖9是長為5，寬為4，高為3的長方體，一只螞蟻從頂點A沿長方體的表面爬行到頂點B的最短距離是多少？

【分析】：A、B在同一平面，長方體展開圖有三種可能（如圖10），然后分別求出AB的長度，比較大小即可求得最短路程。

圖9

圖10

二、利用“垂線段最短”求最值

例題6：如圖11，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD；

（1）利用尺規作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

圖11

圖12

（2）在（1）的條件下，

①證明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值。

【分析】：②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作 KH⊥AB 于 H，連接 MK；由 MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據垂線段最短可知：當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長（如圖12）。

例題7：如圖13，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關于CD的對稱圖形為△CED；連接AE，若AB=6cm，

圖13

求：①求sin∠EAD的值；

②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP，一動點Q從點O出發，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動，當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間。

【分析】：②作 PF⊥AD 于F，已知 PF=AP·sin點Q的運動時間當 O、P、F 共線且PF⊥AD時，OP+PF最短。

綜上所述，利用圖形變化解決最短途徑問題，基本解題思路是在不改變線段長度的前提下，運用對稱變化把對稱軸同側的兩條線段轉化為對稱軸的兩側，根據“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”原理，把“折線”轉“直”，找出最短位置，求出最小值。