追溯起點向思維深處進發
——以《梯形的面積》教學為例

張偉明

一、背景陳述

“圖形與幾何”是數學學習的重要領域，是幫助學生形成創新意識、發展數學思維的必備土壤。人教版新教材五年級上冊《梯形的面積》一課，是在學生認識了梯形特征，經歷、探索了平行四邊形、三角形面積計算的推導方法，并形成了一定空間觀念的基礎上進行教學的。因此，教材中沒有安排數方格的方法求梯形的面積，而是直接給出一個梯形，讓學生在自主參與探索的過程中，發現并掌握梯形面積的計算方法，讓學生在數學的再創造過程中實現對新知的意義建構。

課前筆者對來自下城區北部不同學校的近200位學生進行了前測與訪談，結果顯示：有66.5%的學生已經知曉梯形的面積計算方法，有55%的學生會應用梯形的面積公式進行計算，有12%的學生知道梯形的面積公式如何推導。從結果分析，圖形與幾何的課堂應該更注重于讓學生在經歷數學活動的過程中獲得數學思想，發展合情推理與演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法。

基于上述認識，筆者重新思考《梯形的面積》一課教學，并在下城區“課堂節”中執教了本課，經歷幾多辛苦，數易其稿后，最終呈現了一個比較良性的課堂，廣受好評。

二、實踐探究

下文僅結合《梯形的面積》一課，圍繞有效的“圖形與幾何”教學策略展開論述，以期得到專家和同行的認可。

1.引入：從元認知處著手。

美國心理學家奧蘇伯爾說過：“影響學習的最重要的一個因素是學習者已經知道了什么?！边@就需要我們教師了解課堂上學生的學習起點在哪里，并據此展開探究性學習，讓學生帶著任務去學習，促進學生發揮學習的主動權，激活學生的探究內需，為學生深刻思維的培育奠基。

圖1

本課的引入環節，通過對學生邏輯起點與現實起點的表征分析，教學從“同學們，我們已經學習了平行四邊形和三角形的面積計算，今天這節課我們要來學習梯形的面積計算。”開始。接著給了學生一個簡易的等腰梯形，“你能自己想辦法計算紙上梯形的面積是多少嗎？”（如圖1）?？此坪唵蔚奶菪?，正是因為其具備了等腰屬性，讓學生的思想插上了翅膀，有的學生想到轉化成5×4的長方形，有的學生想到把梯形分割轉化成高為4、底分別為6和4的兩個三角形的，也有的學生直接用梯形的面積公式來計算，在轉化、分割、計算中學生越發能體會到推導圖形面積計算公式的靈魂思想方法——轉化。教師不失時機介入方格圖進行驗證，讓學生感受到這個等腰梯形的確可以用“（上底+下底）×高÷2”來計算面積。學生的幾何直觀能力在操作與推理中層層推進，這樣的過程自然就激發了學生對更高層次學習任務的需求，學生迫切地想要驗證、抽象、推理梯形的面積計算方法。此時教師問：“是否所有的梯形面積都可以用‘（上底+下底）×高÷2’來計算？”問題的拋出又于真正意義上讓每位學生在遵循“特殊”到“一般”的規律中積累基本的活動經驗，從而實現由“讀數學”向“做數學”的轉變。在操作驗證、探究活動中，通過學生的自主探究，進而得到共同的數學結論：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

2.探究：以多元策略為提升。

數學知識是人類對整個自然規律進行探索，不斷研究取得知識成果的積累。在圖形與幾何領域，公式的推導體現了一個較為完整的演繹過程，而這一過程又是已經完成了的，成為知識定論的學科內容。因此，教師的妥善引領，給予學生充分的時間和空間進行探究，挖掘學生在推理過程中的多元化策略，幫助學生接受學科知識、嘗試獨立研究、積累研究情感，在研究中助力思維的深刻發展。

圖2 探究單設計

探究環節，在驗證梯形的面積計算公式時，教師給了學生解決問題的兩大法寶：梯形材料以及探究單（如圖2）。探究單的設計明確而又簡要地闡述學習任務與方法、學習過程中的構建支架和啟發思維的問題，學生對整個操作流程非常清晰，設計的前三步試圖讓全體學生在有限的時間內根據自己的能力自由創造；最后一步則是體現在生本基礎上進一步加強生生交流，在集思廣益的基礎上，深化學生對于知識的理解和掌握，使學生對梯形的面積公式深信不疑。同時教師作為合作者、參與者，引導學生在經歷了動手實踐、自主探究后進行合作交流。學生通過自主學習和小組交流，經歷計算梯形面積方法多樣化的證明，交流了：（1）兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形的推導；（2）把梯形沿著中位線分割組成平行四邊形的推導（3）把梯形分割成兩個三角形的推導；（4）把梯形沿著一腰中點分割組成一個三角形的推導等方法（如圖3）。同時利用交互式電子白板強大的交互功能，從資源庫中有序提取學生的研究結果，讓學生的研究同屏呈現在屏幕上。學生在繼續經歷觀察、回憶、思考等過程后，感知到倍拼轉化和分割轉化的本質都是轉化。正是證明策略的多樣化讓不同的學生在數學上得到不同的發展成為可能。縱觀本課的主要路徑，學生經歷了課內“猜想——驗證——結論——再驗證——初步升華”這五個階段來體驗知識的形成過程，讓學生動手在“做數學”的過程中，獲得的不僅僅是梯形的面積公式，更重要的是怎樣由已知探索未知的思維方式與方法。學會學習、學會思考、學會探究，讓探究起步于課堂，又超越課堂，從課內學習拓展到課外及更廣闊時空的學習，進一步助推思維向深處發展。

圖3 學生的方法匯集

3.練習：向結構關聯要感悟。

圖形與幾何概念的系統性很強，原始概念建立后，大多數新概念都是舊概念的發展與深化。但是，學生往往因不善于調動原有的知識儲備，難以使認知結構發生同化與順應，無法實現知識間的關聯與結構化。那么好的練習，就必不可少了。輔以教師引導、點撥，為學生架構起“認知橋梁”，讓學生感悟到知識間的碰撞、觸發、再成長，實現關聯學習，形成知識結構，從而促成學生數學思維的再度發展。

圖4

圖5

練習環節，基于對梯形面積計算方法的定位，教師極簡數據構建圖形支架，鞏固梯形面積的算法。學生很快算出這些圖形的面積都是“20”，并發現“雖然形狀不同，但因為上下底之和相等，高也相等，所以面積也相等”（如圖4、5）。夯實梯形面積的大小取決于上下底之和與高。教師拋出更高層次的問題：“像這樣，面積和高都不變的圖形還有嗎？”通過對圖形的類比，學生創造力迸發，創造了多種不同形狀的等積梯形。教師捕捉學生創造出的上底是1、下底為9的梯形，讓學生想像圖形的形狀，追問：“上底還能再小一點嗎？”從整數自然拓展成了小數。學生迫不及待地說：“上底是 0．0000001，下底是 9．9999999?！苯處熇^續追問“上底能不能繼續小下去，直到——”學生恍然大悟，上底可等于0，那梯形就成了等積的三角形（如圖6），而此時卻還可以用“（0+10）×4÷2”來計算三角形的面積。如此便打破了梯形面積公式只能計算梯形面積的模型，溝通了梯形與三角形的內在聯系，豐富了梯形的內涵。學生在這種無形的運動中，收獲了成功的喜悅。配合板書，學生很快又繼續運用想象，關聯了梯形與平行四邊形。

圖6

在這樣開放的練習題里，學生解決問題從靜態的基本圖形組成分析上升到基于關系去分析圖形之間的要素結構與等積變換，有效實現了知識間的關聯與結構化。無怪有學生感慨到：“梯形的面積公式可真厲害！青出于藍而勝于藍（我校的校訓），盡管梯形面積計算公式來源于平行四邊形和三角形，但是反過來它又能計算平行四邊形和三角形的面積！”

4.技術：于思想方法中達成。

《數學課程標準（2011版）》明確指出：“信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響?！熏F代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去。”

本課所實施的是基于Activinspire軟件的交互功能。在經歷動手實踐（拼一拼、折一折、剪一剪）、自主探究后，教師引導學生進行交流。根據學生的回答，教師利用軟件所具備的交互功能，復制產生一個完全相同的梯形（如圖7），進行旋轉、平移操作，把學生的思考過程清晰、規整的還原在屏幕上，同時輔以書寫功能，把學生腦海中的推理過程通過學生之口進行呈現，凸顯學生在學習過程中的主體作用，助力學生形成數形結合思想。接著教師利用區域快照的截屏功能，把學生的思考結果保存到資源庫中（如圖8、9），既是為了更好的保留學生的思考痕跡，也是為了隨后的調取和使用。

圖7

圖8 區域快照將學生思考保存到資源庫中

圖9 資源庫的相關界面

在充分交流了學生的證明策略后，教師通過調取資源庫把學生不同的、有價值的策略留存在同一界面。讓學生繼續經歷觀察、回憶、思考等過程，從而指引學生發現這四種不同方法的本質都是轉化，助力學生形成轉化的思想方法。此外，諸如在信息手段助力上底無限逼近于0時幫助學生形成極限思想；又如化歸、符號化思想在本課中均有體現，在此不再一一贅述。

三、寫在后面的話

從核心素養的落地生根到開枝散葉，我國小學數學課程改革經歷了巨大的演變，這樣的演變也為一線教師的教學帶來了困惑。作為數學教師，我更關注數學核心素養以及背后核心能力的發展。非常慶幸能有這么一次高規格的“圖形與幾何”教學實踐，讓我能結合自己一線教師的優勢站在前人的肩膀上進行研究。在改進和批判已有研究不足的基礎上，發掘新的研究方法、研究視角和研究途徑，以及尋找新的立足點和突破口。誠然，“圖形與幾何”領域有效教學策略的研究，需要從認知到實踐到再認知，那么本文的探索也算是拋磚引玉，希望能以此為鑒，管窺“圖形與幾何”教學之方向。