基于改進集的集值優化問題的全局真有效性*

潘銘敏， 仇秋生

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

集值優化理論是最優化理論與應用的主要研究領域之一.隨著最優化理論在經濟均衡、決策博弈等領域的發展,集值優化的重要性日益得到體現.由于集值優化問題的有效解(弱有效解)是關于偏序為非劣意義下的解,這種解集一般都很大,甚至還包含一些性質比較差的解.因此,如何縮小有效解的范圍一直是集值優化的重要課題.近年來,人們相繼提出了各種真有效性,主要有Benson真有效性、超有效性和全局真有效性[1]等.值得注意的是,上述真有效性是基于拓撲線性空間提出的,這一特性在許多實際問題中不一定能得到滿足.因此,將真有效性的概念和性質推廣到線性空間具有重要的意義.在線性空間中,文獻[2]提出了弱有效解的概念并利用擇一性定理給出了弱有效解的最優性條件;文獻[3]提出了向量閉集的概念,相對于代數閉集,向量閉集更加貼近拓撲閉集的性質;文獻[4]定義了向量優化問題的Benson真有效解,并給出其標量化定理;文獻[5]研究了集值優化問題的近似Henig真有效性.另一方面,由于集值優化模型是各種實際問題中的抽象，對模型的求解本身就是一種近似的過程,因此,近似真有效性的研究對解決實際問題具有重要的價值和意義.文獻[6]提出改進集的概念并建立了E-有效解,它包含有效解、弱有效解、近似弱有效解等作為特殊情況;文獻[7]將改進集從有限維空間推廣到局部凸空間.在此基礎上,文獻[8]引入了近似E-次類凸集值映射的概念,并給出E-Benson真有效解的最優性條件.改進集的特性使得它為集值優化問題統一解的討論提供了有效的途徑.如何將集值優化問題的真有效性推廣到更一般的線性空間,并提出統一的全局真有效性,具有理論和實際意義.

在文獻[3,6-9]的基礎上,本文利用改進集和線性空間中的代數性質,提出一類更加廣泛并且不需要拓撲結構的E-全局真有效性,試圖將一些精確和近似的全局真有效解進行統一研究,并且通過凸集分離定理獲得了集值優化問題E-全局真有效解的最優性條件.

1 預備知識

若無特別申明,以下總設X,Y,Z是實序線性空間,Y*,Z*分別表示Y和Z的代數共軛空間.A是Y中的任一非空子集,0表示每個空間中的零元.K是Y的非空子集.若?k∈K,λ≥0,有λk∈K,則稱K為錐.K的錐包定義為coneK:=∪{λk:λ≥0,k∈K}.若錐K還是凸集,則稱K為凸錐.若K∩(-K)={0},則稱K為點錐.錐K是非平凡的當且僅當K≠{0}且K≠Y.

K?Y的對偶錐K+和嚴格對偶錐K+i定義如下:

K+:={y*∈Y*|〈y,y*〉≥0,?y∈K};

K+i:={y*∈Y*|〈y,y*〉>0,?y∈K{0}}.

以下均假設K為凸錐.

定義1[7]設E是Y中的非空子集,若0?E且E+K=E,則稱E是關于錐K的改進集,簡稱E是改進集,記Y中所有改進集的集合為ζY.

定義2[3]若A是Y中的非空子集,則稱

corA:={a∈A|?y∈Y,?λ′>0,?λ∈[0,λ′],a+λy∈A},

vclA:={a∈A|?y∈Y,?λ′>0,?λ∈(0,λ′],a+λy∈A},

linA:=A∪{x∈Y|?a∈A,[a,x)?A}

分別為A的代數內部、向量閉集和代數閉集.

注1由定義2可得到以下包含關系:

1)corA?A; 2)A?linA?vclA.

引理1[10]設K是Y中代數內部非空的凸錐.若E∈ζY,則corE=E+corK.

引理2[11]若A是Y中的非空凸集,則對?x1∈corA,x2∈linA,有[x1,x2)?corA.

命題1設A是代數內部非空的凸集,則A+=(corA)+.

證明 因為corA?A,所以A+?(corA)+.

下證(corA)+?A+.事實上,對?ψ∈(corA)+,有

〈a1,ψ〉≥0, ?a1∈corA.

因為A?linA,所以由引理2知,?a2∈A,有[a1,a2)?corA.因此,對?t∈(0,1],有

ta1+(1-t)a2=a2+t(a1-a2)∈corA.

由于ψ∈(corA)+,所以〈a2+t(a1-a2),ψ〉≥0,?a1∈corA,?a2∈A.當t→0+時,〈a2,ψ〉≥0,?a2∈A,即ψ∈A+.因此, (corA)+=A+.命題1證畢.

定義3[9]設A是Y中的非空子集,F:A→2Y為集值映射,K是Y中的凸錐.若vcl(cone(F(A)+K))在Y中是凸集,則映射F在A上是近似K-次類凸的.

定義4設A是Y中的非空子集,E∈ζY,F:A→2Y是集值映射.若vcl(cone(F(A)+E))是凸集,則映射F在A上是近似E-次類凸的.

注2當corK?E?K時,vcl(cone(F(A)+E))=vcl(cone(F(A)+corK))=vcl(cone(F(A)+K)).此時,線性空間上的近似E-次類凸集值映射就是近似K-次類凸的.但近似E-次類凸映射不一定全是近似K-次類凸映射.

引理3[2]設K是Y中代數內部非空的凸錐.若y∈corK,且y*∈K+{0},則〈y,y*〉> 0.

引理4[11]設A,B是2個非空凸集,corA≠?,且(corA)∩B=?,則A和B可用超平面分離.

2 E-全局真有效性的代數性質

下面給出實序線性空間中基于改進集的全局真有效點的定義,其次說明該定義的合理性,最后討論E-全局有效點與其他真有效點之間的關系.

首先引入線性空間中的近似和精確全局真有效點的概念.

注3線性空間中集合的全局真有效點也具有平移性質.

命題2設A是Y中的非空子集,K?Y為凸錐,則G(A,K)=G(A+K,K).

下證G(A+K,K)?G(A,K).

對?y′∈G(A+K,K),存在點凸錐D滿足K{0}?corD,使得(A-y′+K)∩(-D{0})=?.由于A?A+K,所以

(A-y′)∩(-D{0})=?.

(1)

假設y′?A,由y′∈G(A+K,K)?A+K知,存在a∈A,a≠y′,使得y′-a∈K{0}?corD?D{0}.故a-y′∈-D{0},與式(1)矛盾.因此,y′∈A.結合式(1)知,y′∈G(A,K).從而G(A+K,K)?G(A,K).命題2證畢.

下面給出實序線性空間中基于改進集的全局真效性的定義.

(2)

(3)

已知d∈-corD,則d∈cor(-corD).對式(3)中的y1,存在λ′>0,?λ∈[0,λ′],有d+λy1∈-corD.因為λn→0+,所以存在充分大的n0∈N,使得λn0∈[0,λ′].因此,

d+λn0y1∈-corD.

(4)

注4線性空間中基于改進集的全局真有效性是一個很廣泛的概念,E-全局真有效性對一些精確和近似全局真有效性進行了統一,例如:

(5)

下面引入E-有效點和E-Benson真有效點的定義,討論E-全局真有效點和它們之間的關系.

命題4設E∈ζY,A?Y為非空子集,則

1)G(A,K,E)?E(A,K,E); 2)G(A,K,E)?B(A,K,E).

?.

(6)

注5命題4中1)的逆命題不一定成立,即G(A,K,E)真包含于E(A,K,E).

3 集值優化問題E-全局真有效解的最優性條件

下面給出集值優化問題E-全局真有效解的概念,其次討論E-全局真有效解的標量化特征和Lagrange乘子定理.

設S?X是非空子集,F:S→2Y和G:S→2Z是2個集值映射,K和P分別是Y與Z中的凸錐.

考慮如下集值優化問題:

其中,W={x∈S|G(x)∩(-P)≠?},稱W為(VP)的可行集.

由(VP)誘導的標量優化問題如下:

其中,φ∈Y*{0}.

當式(7) 中的r =0 時，〈d，φ〉≥0，?d∈cor D.因此，φ∈(cor D)+.由命題1知，φ ∈D+{0} .而K {0}?cor D，所以由引理3 知〈k，φ〉> 0，?k∈K {0} ，即φ∈K+i.將式( 7) 中的d 固定，有

注7當E=ε+K,ε∈K{0}時,定理2就退化為文獻[9]中的定理4.2.

下面給出線性空間中集值優化問題的Lagrange乘子定理.設L(Z,Y)是由空間Z到Y的所有連續線性算子組成的集合,記L+(Z,Y)={T∈L(Z,Y)|T(P)?K}.

考慮由(VP)誘導的無約束集值優化問題:

其中,T∈L+(Z,Y).

3)H(x)在S上是近似E×P-次類凸的,

?(corK∪{0})(corE).

cone(H(W)+E×P)∩(-cor(D×P))=?.

顯然,cone(H(S)+E×P)∩(-cor(D×P))=?.由命題3可得

vcl(cone(H(S)+E×P))∩(-cor(D×P))=?.

由條件3)知,vcl(cone(H(S)+E×P))在Y×Z上是非空凸集,又cor(D×P)在Y×Z上也是非空凸的,所以由引理4知,存在(y*,z*)∈(Y*,Z*)(0,0),使得?r≥0,x∈S,p1∈P,(y,z)∈F(x)×G(x),(d,p)∈cor(D×P),e∈E,

(9)

下面分3步進行證明.

1)證明y*∈K+i.在式(9)中令p1=0,則

(10)

令式(10)中的r=0,有〈d,y*〉+〈p,z*〉≥0,?(d,p)∈cor(D×P).因D和P都是錐,故y*∈(corD)+,z*∈(corP)+.由命題1知,(y*,z*)∈(D×P)+.固定式(10)中的d和p,可得

當r→∞時，有

(11)

下證y*≠0.假設y*=0,則z*≠0.因此,式(11)可簡化為

〈z,z*〉≥0, ?x∈S,z∈G(x).

(12)

(13)

因為(cone(G(S)+P))+=(vcl(cone(G(S)+P)))+,所以z*∈(vcl(cone(G(S)+P)))+=Z+,從而〈z,z*〉≥0,?z∈Z.由于Z是線性空間,?z∈Z,有-z∈Z,所以〈-z,z*〉≥0.進一步可得z*=0,這與假設矛盾.因此,y*≠0,即y*∈D+{0}.由于K{0}?corD,所以〈k,y*〉>0,?k∈K{0}.這表明y*∈K+i.

-〈e,y*〉≤〈z′,z*〉≤0, ?e∈E.

(14)

所以

注8定理3推廣了文獻[12-13]中關于集值優化問題全局真有效解的Lagrange乘子定理.

1)當E=ε+K,ε∈K{0}時,文獻[13]中的定理3.1就是定理3的特殊情況;

2)當Y是局部凸的拓撲線性空間時,若-int(D×P)是非空的,則近似E×P-次類凸就等價于ic-E×P-類凸,取E=K{0}時，定理3就退化為文獻[12]中的定理3.1.

4 結 語

利用改進集,將集值優化問題的全局真有效解從局部凸的拓撲線性空間推廣到實序線性空間.提出集值優化問題的E-全局真有效性,統一了全局真有效性和近似全局真有效性等概念.通過凸集分離定理,獲得了線性空間中E-全局真有效解在目標函數為近似E-次類凸下的最優性條件.同時,給出了具體的例子,闡述一些概念和結論之間的關系.可以看出,線性空間中集值優化問題的E-全局真有效解具有廣泛性和一般性.