數學史：不可忽略的教學內容

馬瑛 溫孝明

2018年的高考已經落下帷幕，在全國各地的高考數學試題中，與數學史相關的題目雖總量不多，但古今中外都有涉及。近年來，數學文化與數學史已成為高考數學的考試內容。前幾年多數以歷史與文化作為題目背景，近兩三年則直接以歷史原題入試。這要求中學數學教師必須重視數學史與數學文化的教學，而考生也必須重視相關知識的學習。本文扼要介紹2018年高考中的數學史內容。

一、西方數學的重要結果：希波克拉底定理

全國Ⅰ卷理科數學第10題，題面考幾何概型，即比較隨機取點分別落在黑色月牙形I、白色弓形Ⅱ和三角形Ⅲ內的概率。這個幾何圖形來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形（如圖1），在歷史上非常有名。

希波克拉底是希臘數學家，生于奇俄斯島，活躍于公元前5世紀下半葉，在幾何學方面做出了許多貢獻，他的一些研究成果被歐幾里得編入了《幾何原本》中。此外，他對天文學也頗有研究。古希臘出現了幾何學史上著名的三大難題，即倍立方、化圓為方、三等分角。有許多數學家為解決此三大難題殫精竭慮，直到19世紀才最終證明此三大難題無法解決。但是人們在研究過程中獲得了許多副產品，得到一些著名的結果。

希波克拉底第一個在倍立方問題上取得了重要突破，他用分析方法把這個困難的幾何問題轉化成較簡單的代數問題。而所謂的“希波克拉底定理”是在研究化圓為方問題時產出的結果。他實際上解決了化月牙形為方的問題，相當于求出了圖1中黑色部分的面積。他發現：①直角等腰三角形的外接圓與邊上所做的二半圓之間所夾的兩個月牙形的面積之和等于三角形之面積；②由正六邊形上半部所構成的梯形面積等于邊上一個小半圓與三個月牙面積之總和；③作一個正方形的面積等于一個月牙。圖1中I與Ⅲ的面積相等是①的直接推廣。根據希波克拉底定理，I與Ⅲ的面積相等，由此立即可得出本考題答案。如果考生熟悉此定理，則該考題答案可脫口而出。

此考題背后涉及古希臘三大幾何難題、希波克拉底及其數學成果，甚至還涉及《幾何原本》，包含了豐富的數學史與數學文化知識。近年來關于西方數學史內容還有畢達哥拉斯形數（湖北2009年理科第10題、2013年理科第14題）、斐波那契數列（2009年福建理科第15題）、阿波羅尼斯奧圓（2014年湖北文科第17題）、皮克定理（2013年湖北文科第17題、2011年北京理科第8題）等。

二、現代數學的重要成果：哥德巴赫猜想

全國Ⅱ卷理科第8題，題面考古典概型，所用模型是著名的哥德巴赫猜想。

1742年，哥德巴赫猜測：任何一個大于2的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。他求教當時最著名的數學家歐拉，可是歐拉也無能為力，后來無數數學家為證明這個猜想而奮斗。該問題與費瑪大定理等一起成為數論中著名的難題。對于較小的偶數，哥德巴赫猜測可以直接得到驗證，但一般意義上的證明卻困擾了數學界二百多年。由于一舉證明整個結論的困難，后來人們改變了思路，去證明把大偶數表示成a個素數的乘積加上b個素數的乘積，簡稱“a+b”。當a，b都等于1時，猜想就被證明了。當證明了a等于1成立后，問題就在于降低b了，我國數學家王元、潘承洞和陳景潤在這個問題上取得了重要成果，陳景潤證明了b=2成立，離b=1成立還差一步，至今仍是最好的結果。

本題涉及到的是近現代數學史上著名的哥德巴赫猜想及其歷史，既是歷史著名難題，也包括中國數學家的成就，足以引起考生對現代數學前沿的興趣，引導學生關注現代數學進展。

三、中國古代數學：劉徽原理與百雞問題

上海卷第15題考查學生分類討論的能力，其模型是《九章算術》中的幾何體“陽馬”，這涉及到古代幾何形體、幾何理論與劉徽原理。將立方沿對角線一分為二，得兩個“壍堵”，劉徽證明了“斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”。在證明中他用到了無限分割與極限方法。史家稱為“劉徽原理”。立方、壍堵、陽馬、鱉臑是中國古代幾何中的基本形。

浙江卷第11題直接以《張邱建算經》中的名題“百雞問題”為考題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”這是一個解不定方程組的問題。張邱建給出了全部解，中國古代其他數學著作中同類問題很多。

以上二題均來自中國古代數學著作。其實，近年來高考數學文化試題中，涉及到中國傳統數學代表性著作的題目較多，如：“竹生九節”“開立圓術”“割圓術”“祖暅原理”“委米依垣”“更相減損術”“米谷粒分”“天池盆測雨”“秦九韶多項式算法”“中國剩余定理”“棋局都數”“浮屠增級”等古代數學名題，涉及數學著作較多，內容較為寬廣。

四、數學的應用問題：十二平均率與榫卯結構

北京卷第4題考查的是等比數列問題計算，所用模型是明代科學家朱載堉的“十二平均率”，這是當時領先世界的音律理論。我國從戰國開始在計算音律時就使用“三分損益法”：以黃鐘九寸開始，進行三分損益，通過一損一益來計算律管的長度，得到一個八度音中的12律。“三分損益”，即在原數基礎上減少（損）或增加（益）三分之一，例如：黃鐘長9寸，三分損一得6寸為林鐘；林鐘6寸三分益一得8寸為太簇，等等。朱載堉是明代一位失意的皇家子孫，被封為鄭世子，他堅持數學、音律學和天文學研究，取得了不少成就。他在世界上第一次使用十二平均律。十二平均律將八度音程平均分為12份，各律構成以為公比的等比級數。朱載堉在計算時需要計算2的24次方根，他用多架算盤拼起來計算，得出了很好的結果。明代的外國傳教士把他的工作介紹到國外，引起了重要反響，他因此以“王子朱載堉”名揚海外。

全國Ⅲ卷理科數學第3題考查考生對三視圖的理解能力，所用模型是中國古代建筑中聞名于世的榫卯結構。中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫“榫頭”，凹進部分叫“卯眼”，在現存古建筑中隨處可見。從數學的觀點看榫卯結構，實際上就是一些幾何圖形的組合。

以上二題有助于引導學生了解中國傳統文化。

五、結語

前幾年高考試題主要是將歷史材料作為背景材料以提醒中學數學教師的注意，近兩年則直接以歷史算法、定理或原題作為考查內容。無論是古希臘的數學家，還是三國時代的劉徽；無論是化圓為方，還是《張邱建算經》里的“百雞問題”；無論是古建筑的榫卯結構，還是近代的哥德巴赫猜想，從考查數學史與文化的寬度和廣度來看，都勝過往年。此外，綜合地看，對于數學史考察的范圍是相當廣泛的，古今中外都有涉及。這表明高考對數學史與數學文化的要求正在趨于提高。

隨著2018年數學高考試題難度的降低，今后對數學史與數學文化的考查可能會有所加強。中學數學教師必須重視這個發展趨勢。這對中學數學教學與學習提出了新的要求。要求學生除掌握教材中的歷史閱讀材料外，還應有適當的拓展，要系統地了解中國古代的數學史和著名的數學家，熟悉某些著名的經典結論。教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，特別是對有關數學史、數學文化背景的高考題，要關注其題目背后的歷史背景，通過平時的學習，積累數學史、數學文化知識。認真解讀這些考題背后的歷史素材，會給學生打開一個新的認知空間，會為教師的數學史教學指明方向，更為學生更好地儲備數學史、數學文化知識打下堅實的基礎。