認知結構視域下的三角函數內容學習探究

張藝凡

（西華師范大學 四川 南充 637009）

認知結構是個人將自己所認識的信息組織起來的心理系統。在實踐中可以明顯體會到，認識了的知識需要加以組織整理、存儲在記憶中，才能有效地加以利用。因此，對于數學知識的學習也應當建立相應的數學認知結構。有效的數學認知結構可以促進記憶、減少記憶容量、推動知識的正向遷移。所以了解數學認知結構的作用影響，以及學生產生建立數學認知結構障礙的原因，可以幫助學生學會如何在數學學習中構建認知結構。

一、“原有”數學認知結構影響分析

數學認知結構是數學的概念、性質、公式、法則和定理等知識在學習者頭腦當中的反映，是學習者在學習知識的過程中結合自己的感覺、知覺、記憶、想象、思維等認知活動，逐漸積累起來的關于數學方面的觀念系統。但數學認知結構又不等同于數學知識結構。數學知識結構是指一個邏輯嚴密結構完善、語言嚴謹的數學知識體系，是人們長期探索出來的客觀真理，不以人的意志所轉移改變，而數學認知結構則是數學知識結構在學生頭腦中的反映，通過學習者的感知、想象、思維等認知活動內化為學習者自己的結構。由此可見數學認知結構具有一定的互異性、主觀性。

1.原有認知結構的可利用性

如果原有認知結構中具有新知識的固著點，就可以快速高效地同化新知識，找到新知識學習的關鍵因素，從而更好的順應新知識，形成更加完整和高層次的認知結構。

比如，在我們高中學習任意角的三角函數定義時，最開始是由初中的銳角三角函數定義作為新知識的固著點的，再由銳角擴充到任意角，由比值表示函數到由坐標表示函數，從而自然引出任意角的三角函數定義。

2.原有認知結構的可辨性

新舊知識之間一定要有可以分辨的點，要明白新知識與舊知識之間的相同點和不同點。這樣可以更加快速準確的找到同化新知識的固著點，形成良好的認知結構。

比如，在任意三角函數的定義當中，任意角的三角函數定義與銳角三角函數的定義，一個是用線段比定義，而另一個是用點坐標來定義，所以在任意角三角函數的定義當中就不能再混有銳角三角函數，這也是很多學生在理解任意角三角函數的一個易混點。

3.原有認知結構的清晰性和穩定性

學習者原有認知結構的清晰性和穩定性直接影響著學習者新知識認知結構的質量。如果原有認知結構當中的相關觀念不清晰穩定，那么新知識的同化順應一定會存在困難。比如，判定的最小正周期，很多學生會把它化簡成，從而得出它的最小正周期為π，但是正解是2π。這是因為學生對于函數的舊知識理解不夠深刻，關于函數的相關認知結構不夠穩定清晰，導致了三角函數與函數知識聯系薄弱，讓學生把三角函數更多的是和簡單計算問題聯系在一起，而不是作為函數來研究，該問題主要考察的就是函數定義域對三角函數性質的影響。

二、“將有”數學認知結構建立分析

1.知識緯度

知識是客觀存在的，不以人的意志為轉移。而知識存在的意義就是供人學習，然后人又再不斷地去發展知識，而認知結構就是個人將所認識的信息組織起來的心理系統。實踐表明，對于認識了的知識必須進行再加工才能真正地被人所利用。而知識的再加工就包括知識的組織整理儲存以及提取，所以認知結構的建構對于知識的組織和理解以及發展有深遠的意義。例如對于三角函數來說，知識點多而雜，知識相似性大，容易導致學生在學習過后對于知識產生模糊性，同時初中知識會對高中學習產生負遷移。這時候數學認知結構的建立顯得尤為重要。

2.教師緯度

對于教師來說，幫助學生建立完整的認知結構才是比單純傳授學生知識更重要的事情。面對當前的應試教育，還有很多教師都還是對學生采用“填鴨式”和“灌輸式”教學以及“題海戰術”，這些方式都是將知識看成是簡單地堆砌，不利于教學目標的真正實現。教師應當挖掘知識之間的聯系，注重學生心理上的活動而行為上的，幫助學生從一開始就建立良好的認知結構，這樣才能使學生在從低階段升入高階段的學習后也可以游刃有余。良好的認知結構不僅可以提高教師的教學效率，也讓學生可以真正地學好數學。

3.學生緯度

現今普遍認為數學的學習應當注重理解。理解數學不僅可以幫助學生記憶相關數學知識，還可以降低記憶的容量，除此之外還能促進知識的正遷移。而知識的理解需要有一定的心理圖示，也還需要認知結構地再組織。由此可見，學生建立完整良好的認知結構是學好數學的關鍵。高中之前，學生學習的數學知識簡單，學習的內容相對高中較少，這時認知結構的好壞對于學生的影響相對于高中沒有那么明顯，認知結構的重要性也就沒有得到體現。但之前的認知結構建立不完善就導致一些學生在面對高中繁重的學習任務時感覺力不從心，這也是為什么很多初中學習成績好的，到了高中卻不一定能夠保持學習水平的原因。

三、解決學生三角函數認知結構構建障礙的策略

廣義上的知識可以分為陳述性知識和程序性知識兩種。數學的陳述性知識包括數學事實（名稱、符號、圖形）、數學概念、數學原則（公式、定理、法則等），以及數學思想方法。而數學的程序性知識則是如何利用概念、規則、定理去解決問題。因此解決學生三角函數認知結構構建障礙也可以從陳述性知識和程序性知識兩方面入手。

1.陳述性知識方面的策略

策略1：精細分析

三角函數的知識點多且大多以公式形式呈現，這時候應當講清楚公式是如何推導來的，公式中的每一個符號代表什么。比如在三角形的誘導公式之中，把公式一到四概括為的三角函數值，等于的同名函數值，前面加上一個把 看成銳角時原函數值的符號。在講解誘導公式時，應先講解角的變化，再到誘導公式。同時教師應當重點強調公式里面把這一個部分看作是一象限的角而不是單純指一個角。

策略2：有效組織

有效組織是指構建新知識的內在聯系，運用已有的認知結構對新知識進行各自的組織與整理。在三角函數教學中，教師應當充分利用學生已有的認知結構，順應學生的認知發展規律，這樣可以讓學生更好地理解三角函數，增強公式圖形地記憶，讓學生更容易接受。

策略3：及時復習

在實際教學中，許多老師都發現當學完一整章之后，大部分學生遺忘的很多。因此，我們應當及時復習鞏固，能夠對一章的知識形成一個知識系統。

2.程序性知識方面的策略

策略1：練習策略

程序性知識主要是表述“怎么做”的知識，程序性知識的學習目標就是運用概念、定理解決問題。因此對于程序性知識應當給予一定強度的有針對性的練習，以達到熟練運用知識的技能。同時在練習中也可以增強對陳述性知識的理解。

策略2：舉一反三策略

舉一反三策略即要在教學中注重變式訓練的作用。變式是促進概括化最有效的方式，有效的變式訓練不僅可以增強學生對于程序性知識的靈活運用能力，還可以引發學生思考，加強認知結構的建構。

策略3：反饋評價策略

學生在練習之后最需要的就是反饋評價自己。一味的練習并不能持續的作用于程序性知識的熟練程度，應該在每一個練習中發現自己的錯誤的原因，認真分析，這樣才能增強程序性知識的學習。