導數在高中數學解題中的有效應用

浙江省麗水市青田縣船寮高級中學 章海波

根據現在的高中課本內容，掌握和應用導數的關鍵是導數的概念和定義的理解和學習，要進一步深化導數的應用，需要了解和掌握函數的單調性和函數極大極小值問題以及與函數極值相關的問題。現在高考的試題中導數相關題目越來越多，并且導數和函數、方程、幾何圖形等各方面的知識進行有效結合，目的在于考查學生的綜合知識能力和分析能力。所以，學生必須在充分理解和掌握導數概念和幾何、函數意義的同時，學習和研究運用導數解答相關內容方面的知識。如今把導數和其他知識相結合設計試題，必須要求學生提高分析能力和理解能力，學生因此需要對各種題型不斷進行學習和練習，分析和研究其解題規律，從而能夠快速解答問題。

一、應用導數知識求解函數極值問題

函數極值問題是高中函數學習的重要知識，要求學生必須理解和學會應用。在導數沒有被引進來的時候，求解函數極值是學習的難點。函數的極大值和極小值問題具有很多解題方法，并且在計算解題的過程中和很多的數學內容相聯系，所以，函數極值的求解是個綜合性很強的問題。導數的引入和應用使函數極值的解題步驟簡化了，難度降低了，同時增加了函數極值求解的思路和方法。通常進行極大極小值問題的數學試題設計時，都是求解一個區間的極大和極小值，這種試題也要應用數學式子和圖形相結合的解題思路。并且把區間的端點和極值點進行比較，用來確定極大極小值的取值位置。比如，已知函數f（x）=x2-x，求這個函數在R上的極值。應用導數來進行解題是：f '（x）=2x-1，在導數大于零時，x＞1/2；在導數小于零時，x＜1/2。所以，x=1/2時，函數的極小值是-1/4，這個函數沒有極大值。

二、應用導數知識分析函數的單調性問題

函數的單調性問題以前都是應用圖象的方法進行分析，就是利用函數圖象和增函數及減函數的概念進行函數單調性的分析和判斷,這種方法不適合比較復雜的函數分析。在引入了導數的知識后，利用導數知識分析復雜函數的單調性，相對就比較簡單和容易,其分析過程中求解函數的導數，把函數的導數當作獨立的函數，把它和零比較，求得在不同區間的導數大小。比如，當x在區間[a，b]時，如果導數大于零，那么原函數在這個區間單調遞增；當x在區間[a，b]時，如果導數小于零，那么原函數在這個區間單調遞減。

三、應用導數知識求解不等式

不等式和函數是高中數學知識內容的兩個重點知識內容，進行考試或練習的習題設計過程中，多數情況下都是不等式和函數相結合來設計，其目的是為了對學生的分析能力和知識綜合運用能力進行考查。所以，函數和不等式的習題通常是數學的大題。隨著高考多元化出題的趨勢，多應用二次函數的降次解決問題，或根據二次函數圖像的分布分析和判斷不等式的性質，進行不等式求解。例如，已知函數f（x）設曲線y=f（x）和x軸的交點處的切線是y=4x-12，并且 f '（x）是 f（x）的導數，如果 f '（2-x）= f '（x），求函數f（x）。這個問題應用導數進行求解，就會減少運算量，讓解題變得簡潔。解：f '（x）=x2+2bx+c，因為f '（2-x）= f '（x），所以函數y= f '（x）的圖像是關于直線x=1對稱的，那么b=-1。又因為直線y=4x-12和x軸的交點是（3，0），所以，f（3）=0，并且f '（3）=4，所以9+9b+3c+d=0，同時9+6b+c=4，所以解得c=1，d=-3。求得函數通過這樣的分析和解答，可以加快解題的速度，提高學習的效率，能夠增強學生解答數學問題的興趣和積極性。

四、應用導數解決切線問題

函數導數的幾何含義是這個函數在某一點處的切線斜率。應用導數知識解決切線問題就是把導數和幾何圖形的求解進行結合，從而對問題進行解決，比如，指數曲線、圓錐曲線和三角曲線等方面的求解問題都是應用導數知識來進行解決的。對解決比較復雜的切線問題，也可以應用老方法和老思路，同時，導數的應用可以降低解題難度，增加解題效率，給解決切線問題拓寬了思路，增加了解題方法。因為人們固定思維方式和思維方法，高中學生通常在進行數學問題解決過程中會有很多的限制和約束，關于解決問題的思路和方法同樣也有一定的固定方式。導數思維的引入就大大提高和創新了數學問題的解決方法和思路，使分析解決問題的難度降低了，步驟簡化了。比如，向量、立體幾何以及解析幾何等方面問題進行求解時可以應用導數知識，雖然傳統的數學解題思路和方法也可以解決數學問題，可是和應用導數知識進行問題解決的思路和方法相比較，顯得具有一定局限性，方法過程相對復雜。例如：已知偶函數f（x），當x＜0時，f（x）=ln（-x）+3x，那么曲線y= f（x）在點（1，-3）處的切線方程是什么？應用導數的知識解題：因為f（x）是偶函數，所以當x＞0時，f（x）= f（-x）=lnx-3x，所以f '（x）=1/x-3，則f '（1）=-2。所以在點（1，-3）處的切線方程是y+3=-2（x-1），也就是y=2x-1。通過導數知識的應用，降低了解題的難度和步驟，讓學生不再厭煩數學問題的分析和解決，使學生可以加快解題速度和解題的正確率，加強學生學習的成就感，提高其學習的能力和質量。

綜上所述，導數在高中數學的教學和學習中是重要的知識內容，發揮導數的作用，可以提高教師課堂的教學效率，增加教學方法，不等式、函數及幾何與導數進行多角度的結合，尋找導數應用時的相同點和不同點。導數在教學過程的應用，可以加強不同知識間的聯系，提高教學效率和效果，同時可以拓寬學生的解題思路，提升學生數學學習的積極性。