例說圓錐曲線中的范圍與最值問題

趙春雷

(江蘇省揚州市新華中學 225002)

一、圓錐曲線的范圍問題常見求法

求圓錐曲線中的范圍問題，主要用到兩種方法：一是幾何法.幾何法就是指如果題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.二是代數(shù)法.代數(shù)法就是指如果題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，或者不等關(guān)系，或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等，則利用這些去求參數(shù)的范圍.

例1 [2016·浙江卷] 如圖所示，設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.

(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，求M的橫坐標的取值范圍．

解(1)由題意可得，拋物

(2)由(1)得，拋物線方程為y2=4x，F(xiàn)(1，0)，可設(shè)A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.因為AF不垂直于y軸，所以可設(shè)直線AF：x=sy+1(s≠0)．

綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(-∞，0)∪(2，+∞)．

評注本題的難度不算太大，在第一題中已經(jīng)把拋物線的方程求出來了，到第二題時就可以直接應(yīng)用了.第二題是求范圍的典型題目，在分析了本題后，發(fā)現(xiàn)要想求解還是應(yīng)該用代數(shù)法來求解，因為題目中給了一些數(shù)量關(guān)系，而這些數(shù)量關(guān)系正好能聯(lián)立得到方程組.

二、圓錐曲線中面積的最值問題求解方法

一般來講，圓錐曲線中面積的最值問題求解方法主要有三種.一是轉(zhuǎn)化為面積與某參量的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值；二是得到關(guān)于面積的關(guān)系式后，利用基本不等式求有關(guān)最值；三是結(jié)合圓錐曲線的幾何性質(zhì)求最值.

評注本題的難度較大，題目中的第一題和第二題相對簡單，這道題是層層遞進的，前兩問是為第三題打基礎(chǔ)的.在分析本題后，發(fā)現(xiàn)要想求解最后一題，先要得到關(guān)于面積的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得最值.