一類圓錐曲線中直線過定點問題的探究與發現

喻秋生

(廣東省深圳實驗學校高中部 518055)

一、問題的提出

2017年高考全國卷Ⅰ理科第20題是一道關于橢圓中直線過定點的問題，題目如下：

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點．

在這道高考試題中，我們知道點P2是該橢圓的上頂點，kP2A+kP2B的值為常數-1，如果給出的點P2是平面內任意點，并且kP2A+kP2B的值為任意實數λ，結論又怎樣呢？因此，我們提出更一般性的問題：

二、問題的探究

下面我們分λ=0和λ≠0兩種情況進行探究．

1.λ=0，直線l過定點的情況

當s=0，t=0時，⑤不成立，即直線l不可能過定點；

當s≠0，t≠0時，由④、⑥，得α=-s，β=t，則m=-sk+t，直線l的方程為y=k(x-s)+t，直線l過點P(s,t)與條件矛盾，此時直線l不過定點．因此，我們得出：

2. λ≠0，直線l過定點的情況

(1)點P在坐標軸上情況

由⑦得α=-s，代入⑧化簡，得s=±a．

類似可得出點P在y軸上的情況，因此，我們得出：

點P的坐標直線l過定點的坐標(a,0)(a,-2b2λa)(-a,0)(-a,2b2λa)(0,b)(-2bλ,-b)(0,-b)(2bλ,b)

(2)點P不在坐標軸上情況

如果點P在C上時，則a2t2+b2s2-a2b2=0，等式⑩、⑩′均成立，即等式③對任意實數λ恒成立．

如果點P(s,t)不在橢圓上，則a2t2+b2s2-a2b2≠0，要使等式③成立，即要使等式⑩或⑩′成立，必須有λa2-λs2+2st=0，即(s2-a2)λ=2st．

當直線l的斜率不存在時，以上討論結論也成立．因此，我們得出：

三、問題的推廣

前面我們對橢圓中這類直線過定點問題進行了探究，用同樣的方法對雙曲線、拋物線進行探究，可以得出類似的結論(探究過程略)．

(1)若點P在坐標軸上，則當且僅當點P為C的頂點時，直線l恒過定點，并且點P的坐標與直線l過定點的坐標有以下關系：

點P的坐標直線l過定點的坐標(a,0)(a,2b2λa)(-a,0)(-a,-2b2λa)

結論6 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(s,t)，如果不經過點P且不與坐標軸平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且直線PA與直線PB斜率的和為0，則當且僅當t=0，s≠0時，直線l過定點(-s,0)．

結論7 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(s,t)，如果直線l不經過點P且與C相交于A、B兩點，直線PA與直線PB的斜率的和為λ(λ≠0)．