化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究

張春華

(江蘇省如東縣新店鎮(zhèn)初級中學(xué) 226400)

一、數(shù)形結(jié)合，復(fù)雜問題簡單化

在初中數(shù)學(xué)中，代數(shù)和幾何問題并沒有絕對的界限.代數(shù)問題可以通過概念的幾何意義、方程的曲線、函數(shù)的圖象以及構(gòu)造代數(shù)式圖形的方式轉(zhuǎn)換為幾何問題.同時(shí)，由于坐標(biāo)法的引入，越來越多的幾何問題都可以通過代數(shù)手段解決.初中生在接觸幾何問題時(shí)，往往只會(huì)習(xí)慣性的使用輔助線進(jìn)行求解，長此以往，學(xué)生對幾何問題的求解很容易產(chǎn)生思維定勢.因此教師在平時(shí)的教學(xué)中，要對學(xué)生多做引導(dǎo)，讓學(xué)生將幾何問題化歸成代數(shù)問題，進(jìn)行求解，體會(huì)化歸思想的好處.

例1 (代數(shù)問題幾何化)假設(shè)實(shí)數(shù)x使得下面的不等式|2a-x|+|3a-2x|≥x2,對于任意的實(shí)數(shù)a都可以成立，那么x的取值范圍是 .

教學(xué)思路：教師首先讓學(xué)生自己解決此題，在此過程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生大多數(shù)學(xué)生都是進(jìn)行零點(diǎn)劃分，然后分類討論，這樣的方法計(jì)算量大，而且此題是填空題，降低了做題效率.隨后教師采取化歸的思想，使用絕對值概念的幾何意義，將其轉(zhuǎn)換成為幾何問題進(jìn)行解答.

二、“零”“整”互化，陌生問題熟悉化

初中數(shù)學(xué)主要考查學(xué)生對基本數(shù)學(xué)概念、定理的掌握和應(yīng)用情況，因此，很多題目都是考查學(xué)生是否能夠靈活解題，即快速發(fā)現(xiàn)題目的規(guī)律，找到正確的方法進(jìn)行解答.許多看似很復(fù)雜的題目，如果學(xué)生能夠看清楚問題的本質(zhì)，將問題化整為零或者化零為整，將問題簡單化，從而快速正確的解答問題.

例2 已知x2+x-1=0,求x3+2x2+2018的值.

解析此題若是采取傳統(tǒng)的解題方法，學(xué)生首先需要做的是求出變量x的值，然后代入后面的計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算，這種解題方法也可以得到正確的答案，但是計(jì)算量大，不是出題者的本意.教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目給的已知條件與要計(jì)算的計(jì)算式的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以將已知條件作為一個(gè)整體代入，化“零散”為“整體”從而快速得到計(jì)算結(jié)果.

“化歸思想”解法：x3+2x2+2018=x(x2+x-1)+(x2+x-1)+2019=2019.

三、數(shù)學(xué)建模，抽象問題具體化

初中數(shù)學(xué)中有很大一部分的題目都需要學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型來解決，這也是許多初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的攔路虎.數(shù)學(xué)建模的過程實(shí)質(zhì)上是將生活中的問題轉(zhuǎn)換成為數(shù)學(xué)問題，將看似抽象的數(shù)學(xué)問題具體成為可以解決的數(shù)學(xué)模型.教師在日常的教學(xué)過程當(dāng)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系，解決實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，首先認(rèn)真分析，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行解答.

例3南京市市政府現(xiàn)投入大筆資金扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目.某大學(xué)生李紅畢業(yè)后獲得了政府的扶持資格，進(jìn)行創(chuàng)業(yè).她的創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目為進(jìn)價(jià)每件200元的“人臉識(shí)別打卡機(jī)”.在銷售推廣期間，每個(gè)月的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)：y=-100x+5000.

(1)設(shè)李紅每個(gè)月可獲得的利潤為s元，那么請求出當(dāng)單價(jià)設(shè)置為多少人民幣時(shí)，李紅每月可以獲得最大的利潤？

(2)如果李紅每個(gè)月想要獲得10000元的利潤，那么每個(gè)“人臉識(shí)別打卡機(jī)”的價(jià)格應(yīng)該定為多少元？

教學(xué)思路：教師在進(jìn)行題目講解之前，首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧一下二次函數(shù)極值相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生回憶舊的知識(shí)，從而更好地從應(yīng)用題中找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行解答.此題第一問實(shí)質(zhì)上是對二次函數(shù)極值的求解，第二問則是通過列一元二次方程就可以得到答案.

解析(1)s=(x-200)(-100x+50000),然后利用配方法或者函數(shù)圖象求得極大值.(2)可以得到一元二次方程：(x-200)(-100x+5000)=10000,解出該方程即可得到答案.

教后反思：數(shù)學(xué)建模可以將復(fù)雜的實(shí)際問題，變成數(shù)學(xué)語言，利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以解答.在這一過程當(dāng)中，學(xué)生要學(xué)好基礎(chǔ)，才能夠正確地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，建立正確的模型，將復(fù)雜的問題簡單化，得到題目的答案.

總之,初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視劃歸思想的滲透，把握好化歸思想的使用原則，讓學(xué)生掌握化歸思想.借助化歸思想解題，可以有效地?cái)[脫題海戰(zhàn)術(shù)，只需要通過一定量題目的學(xué)習(xí)，就可以擁有解決大部分?jǐn)?shù)學(xué)題目的能力.教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，找準(zhǔn)規(guī)律，應(yīng)用化歸思想提升初中數(shù)學(xué)解題效率.