巧用數學工具 妙解物理問題

曹 華

(江蘇省海門市六甲初級中學 226100)

物理問題中的很多問題可以用數學方法和數學工具來解決，而這類物理問題內在有一些共同的特點，以此向對應，這類數學方法或數學工具也有同樣的特征，這類特征教師需要潛意識的幫助學生歸類、討論、分析、匯總、總結，那就是方法和思想上的提升.這不僅可以巧妙的達成物理問題的巧妙解決，更能將數學和物理學科的價值充分融合，達成美麗與智慧的共生.筆者借助下文幾道經典題，談談方法上的變通與剖析，以此拋磚引玉.

一、常規方法溫習

例題1 小明從A點出發到B點，前一半時間的速度是v1，后一半時間的速度是v2,求整個過程中的平均速度？

例題2 小明從A點出發到B點，前一半路程的速度是v1，后一半路程的速度是v2,求整個過程中的平均速度？

解決這兩道似曾相識的題目，很多教師都遇到過，解決這道題目的難點也在于常規數學方法的應用，是學生應該掌握的一項基本數學技能，也是數學和物理靈活應用的一種要求.我們設第一題的平均速度為Vt，設總時間為2t，設第二題的平均速度為Vs，設總路程是2S具體如下：

這兩種方法將數學的計算和物理的情境相結合，通過計算讓學生感受到數學計算方法在本題中的重要性和價值性.而這重要性和價值性也激發了學生對“數學工具解決物理問題”產生了濃厚的學習興趣，以此促使學生在本環節的進一步深入和研究.

二、變通方法提升

為了進一步提升數學工具在物理問題中的價值，并進一步將物理問題進一步深化，一方面提升學生對物理問題的分析與解剖能力，另一方面借助物理問題的深入，提升數學工具在物理問題中的價值.

例題3 在例題1和2的基礎上，請你判斷整個過程中Vs和Vt的大小關系？

這一問題情境的解決策略很快轉移到數學工具中來，為此，教師要啟發學生用兩種數學思想來解決.

方法1：特殊值代入法.學生將V1和V2設置成簡單易算的特殊值代入Vs和Vt的等式時，Vs和Vt的值也就很快揭曉，而大小關系也就一目了然，特殊值代入法雖然從學術研究角度分析，有失學術研究的嚴謹性、科學性、嚴密性，但是從問題解決的角度分析，這未嘗不是一種好的思想和方法，值得我們借鑒和應用.

無論學生采用哪種方法得出結論，也無論學生站在哪個角度去解決這個問題，學生在這一變式拓展的訓練中再次感受到數學應用技能在物理學習中的重要性和價值性，也深刻體會到數學與物理之間的共融之處.

三、變式訓練歸類

為了真正促進學生學科關鍵能力的有效提升，促進學生在學習過程中達成減負高效的學習效果.我們的變式需要在常態變式的基礎上鎖定變式的方向和目標，方向我們不僅要在知識與技能的廣度上進行變式，還要在思想與方法的深度上進行變式，廣度是為了普及學生的知識面，達成學以致用的效果，而深度是從多個層面訓練學生的學科素養，促進學生對問題解決靈活性、普及性，真正促進學生綜合素養的提升.而學科素養和綜合素養的提升，將直接全面而深刻的促進學生關鍵能力的提升.

變式1：密度為ρ1和ρ2的兩種物質等體積混合后，密度為ρV，密度為ρ1和ρ2的兩種物質等質量混合后，密度為ρm(混合后總體積為兩體積之和.)，求出ρV和ρm的大小？試比較ρV和ρm的大小關系？

本題的變式是基于原有例題1、2、3的基礎上呈現出來的，主要目的對于類似情境問題的判斷和解析，判斷，是能站在不同的知識與技能層面判斷前后兩種不同情境的相似之處，即被求解的物理公式都是比值類的，即V=s/t,ρ=m/v,而密度為ρ1和ρ2的兩種物質等質量混合與前一半路程速度是V1，后一半路程速度是V2的數學類型是一樣的.密度為ρ1和ρ2的兩種物質等體積混合與前一半時間速度是V1，后一半時間速度是V2的數學類型也是一樣的.在這種相似的情境下，讓學生去判斷，就提升了學生對物理情境和數學形式的辨析能力.而解析的過程即將數學的計算和判斷再次進行同類訓練，強化了學生對相應方法與技能的訓練，促進學生相應類型的解析能力，提升了數學工具實用解題能力，也讓學生在訓練中自發的將這種類型的題目和方法歸為一類.

變式2：甲和乙共同從A點出發到B點，甲同學前一半路程的速度是V1，后一半路程的速度是V2,乙同學前一半時間的速度是V1，后一半時間的速度是V2，(V1>V2).請用S-t圖像描述甲和乙兩同學整個過程中的運動情況.

此處的變式將物理的具體情境用數學圖像來描述，此時的難度和廣度都上升至很高的層面，具體可以從三個層面達成理解和突破，答案如圖所示.

1.大小的比較.學生需要在原有的理解基礎上得出Vs

2.共走的判斷.學生需要分析甲乙兩人在整個運動過程中共同走過的區域，這個區域判斷出來也就清楚分開走過的區域.即一開始走過的路程是共同完成的，而除此之外，就是分開運動的，且由于運動相似之處，即運動圖像是平行的.

3.拐點的鎖定.隨著前一半時間和前一半路程的完成，將會出現新的拐點，由于V1>V2，所以前一半時間走完的路程將大于總路程的一半.因此，當甲同學走完一半路程后，將以V2的速度運動時，乙同學講繼續以V1的速度前進.而此時將出現第一個拐點，而等乙同學走完一半時間后，他將以V2的速度前進，此時的運動圖像應該與甲的平行，而此時的平行也決定著乙先到達目的地，從而反證出Vs

在物理的學習過程中，數學是一項工具，而這項工具的巧妙使用卻是一門藝術，教師要用自己的智慧將數學與物理勾畫出美麗的火花，這是人類智慧與學科魅力巧妙碰撞的勝利之花，美且永恒.