一道高考試題的多解、多思與多變

虞懿

2017年高考已經落下帷幕，筆者特別關注了全國卷I理科第10題，這是一道集拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系、焦點弦長之和的最值問題等知識于一體的綜合性客觀題，此題看似平淡，卻精彩紛呈;看似常規，卻彰顯能力，本文擬從一題多解、一題多思與一題多變等角度作一探析，供讀者參考.

1題目再現

例（2017年高考全國新課標卷I.理10）已知F為拋物線C：y2= 4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線f2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為

A.16

B.14

C.12

D.10

2立意解讀

本題題面簡潔、意境幽深、內涵豐富，可以從多個角度思考求解，細細賞玩，感覺韻味十足，本題主要考查了拋物線的定義、直線和拋物線的位置關系、焦點弦及其應用，旨在考查學生的邏輯推理，數學運算等核心素養.

3解法探究

3.1一題多解

一題多解就是利用不同的思路，不同的知識，不同的方法達到解題的目的，它不僅改變了以往學生單一的思維模式，而且還可以有效地培養學生的創新能力和分析問題、解決問題的能力，

評注 直線與拋物線聯立，求判別式、利用韋達定理是通法，需要重點掌握，涉及到最值問題，要能想到用函數方法解決或利用基本不等式解決，

評注 對于拋物線弦長問題，重點要抓住拋物線定義，可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離，

評注 凡涉及圓錐曲線的焦點弦、焦半徑問題，選用極坐標系，常常會使解題步驟簡潔、方便，本題中要求的問題與焦點弦有關，應當建立以焦點F為極點，對稱軸為極軸的極坐標系，不能受直角坐標方程的束縛而把極點選在原點，靈活合理地建立極坐標系十分重要，

評注 運用直線的參數方程，利用參數t的幾何意義直接求解，運算更為簡潔、明了.

3.2一題多思

本題載體為直線與拋物線，考察的是解析幾何的通性通法，解析幾何的本質是用坐標法研究幾何性質（量），我們在解題時一定要從數與形兩個角度入手，不可偏頗一方，既要弄清圖形的幾何特征，又要熟練應用各種代數工具（解方程組、弦長公式等），多方聯想，選擇適當的方法解題，

題目豐富的內涵是展開“一題多解”的基礎，這要求教師在試題講評之前認真研究試題，對試題的內涵及其考查情況要了然于胸，選擇內涵豐富、學生易錯、思維價值高的試題做重點講評，本道試題不僅問題典型，解法豐富，而且有助于提高學生對解析幾何本質的深度理解，因此，對這樣一種一題多解，又有一定教學意義的題目進行重點講評，做到講深講透，可以有效摒棄“題海戰術”，提高解題教學的有效性，

體會其思想是展開“一題多解”活動的靈魂，數學萬變不離其宗，不管高考怎么考，都離不開考查數學的最基本的思想方法，

高中數學思想盡管不少，但總的看來主要也就四大數學思想，即函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想，這些都是高中數學的精髓，但這些“思想”有時只能意會，教學中教師往往也只能是“滲透”，這就要求教師在復習中要貫穿始終不離主線，也要培養學生在實踐中實現自我領悟，在反思中重構自己的經驗，形成自己的行動策略和方式，使得只能意會的知識變成可能.

3.3一題多變

新課標指出：“數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，”眾所周知，數學是思維的體操，要使學生學好數學，還是要從提高學生的數學思維能力和學習興趣上下功夫，在數學教學中，利用教材中的例習題和經典的高考試題進行一題多變，把一個題目反復變化為多個與原題內容不同，但解法相同或相近的題目，有利于深化知識，舉一反三，觸類旁通，使學生主動探討、發現問題、解決問題，真正“學會學習”，這是發展學生思維的深刻性、靈活性、創造性的一條有效途徑，

變式1已知橢圓c：X2/8+Y2/4=1，過左焦點F1（-2，0）作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值，

變式2 F是拋物線G：x2 =4y的焦點，設A，B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足FA·FB=0，延長AF， BF分別交拋物線G于點C，D，求四邊形ABCD面積的最小值，

變式3 已知AC，B為圓O：x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，√2），則四邊形ABCD面積的最大值為____.

變式4 設圓X2+y2 +2x-15=o的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程;

（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線，交Cl于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍，

變式5 已知橢圓c：x2/4+y2/3=1，過右焦點F作兩條斜率之積為-2的直線分別交橢圓C于點P，Q和M，N，則四邊形PMQN的面積S的最小值為___-，

變式6 已知AC，B為圓O：x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，√2），當四邊形ABCD為等腰梯形時，試求四邊形ABCD周長的最大值，

在習題教學中適當地采用“一題多變”，可以對高考題進行大膽的組合與拓展，但要由易到難，體現數學的層遞性，使學生的思維得到自然發散，而不感到突然，通過題目間相近或相似的聯系培養學生的觀察能力，用不同的思路去分析思考，能夠極大地鍛煉學生類推能力和歸納能力，有助于啟發學生分析思考，逐步把學生引入勝境，從而開拓學生視野，增強分析問題的能力，發展創造性思維，

總之，題目是做不盡、探不完的，《莊子·養生主》中說：“吾生而有涯，而知也無涯，”通過對2017年高考全國卷I理科第10題的探析，筆者有一種感觸：學生在考場上的思路探尋，教師在考后的解法探究，命題者在命題時的頂層設計，儼然構成了一幅李白筆下的“舉杯邀明月，對影成三人”的精彩且具有濃厚新課標風味的美妙畫卷.