一個最值問題的探究之旅

丁君斌 陳香云

課堂中，學生提出了教師事先沒有想到的問題，教師該如何對待呢？是視而不見或生硬扼殺地拉回到自己原先設計好的軌道上來，還是順勢借力使學生的提問真正成為課堂的教學資源，讓學生在課堂上探索他們自己產生的、有興趣、有探究價值的問題，筆者在一節“平面向量”復習課中，就出現這樣的情景，茲實錄如下：

通過巡視教室發現，大部分學生都是這樣做的，筆者準備講下一道例題時，忽然，有一個學生站起來說：“老師，向量具有幾何、代數雙重身份，你的方法是用代數法，解得也非常巧妙，可是我覺得這道題幾何特征明顯，是不是可以用幾何法解決呢？我根據題意畫出如圖2所示的圖形，即點P在以0為圓心1和2為半徑的圓環內運動，點B1，B2分別在在半徑為3和4的圓上，點A，P是矩形PB1AB2的兩個頂點，問題就轉化為在圖2中求|OA|的取值范圍.”

學生提出了問題，而且是教師也不知道能不能解決的問題，怎么辦？如果想解決這個問題，很可能最后會無功而返，教師“面子丟盡”.正準備留給學生一句話：“這個問題提的很好，我們留到課后再探究”然后繼續今天的預設教案，轉眼看到這個學生期許的眼光，筆者猶豫了，學生能夠提出問題，說明他對所學的內容感興趣，他在積極的思考，他有解決這個問題的期許，他想從老師那里得到自己需要的東西，如果留到課后探究，效果可能大打折扣，于是決定放棄自己既定的教學目標.

師：請說說你自己的困惑，或者說你在哪里卡住了？

（課堂上面對新問題，把問題拋還給學生，激發他們思考的熱情，同時也為自己留點思考時間.）

生1：主要是動點太多，有PB1，A2B2個動點.

師：真的有4個動點嗎？或者說是否可以不妨固定某個動點嗎？

生1：可以固定B或B2，因為B1，B2都可以在圓上任意動，固定其中的一點不會影響題目的結果，我就把B1點固定在（3，0）.另外根據向量的加法原理，如果P點定了A點和B2也隨之確定，所以我這道題目實際上就是一個動點.

師：那以前碰到動態問題怎么處理的呢？

生1：特殊化原則，當點P在半徑為1的圓上運動時，甚至更特殊就取P（1，0），如圖3.

師：好，那我們就特殊化試試看.（1分鐘后）

生1：老師，當P（1，0）時，如圖求得|OA|=2√6.好像就是最大值，如果能證明P點在其它地方都比2√6小就可以了.

師：能證明嗎？其他同學一起試試看能否證明？（5分鐘后）

生2：老師，我另外取了幾個特殊點P（O，1），P（一1，0），P（√2/2，√2/2），算出來結果都是|OA|=2√6，所以我猜想只要是同一個圓上任意點P，恒有OA=2√6.

師：這位同學想法很好，由特殊到一般，形成猜想，這是數學中的很重要的思想，老師也不知道這個猜想是否正確，下面我們分兩組對這個猜想進行驗證，一組繼續取特殊值驗證是不是定值;另一組嘗試能否證明這個猜想？（5分鐘后，取特殊點的一組同學還是無法找到反例，另一組同學也無法找到證明，這時突然一個學生站起來）

生3：通過對取特殊點計算的過程，我發現|OA|的值僅與|OB1|，|OB2|，|OP|有關，且有|OA|2=|OB1|2+ |OB2|2-|OP|2，所以我形成另一個猜想，無論點p在哪里都有|OA|2= |OB1|2+|OB2 |2一|OP|2.如果能證明這個等式，那么上面的猜想就證明了.

師：（真是一波未平一波又起）為了證明一個猜想，只需證明另一個猜想，這也是數學中的一種重要思想等價轉化是想，那我們來試試看能否證明？

（通過巡視，教師發現，學生陷入僵局，此時教師已經發現，這其實就是平面幾何中的一個結論，利用向量很容易證明，至此本題已經解決，于是老師做了以下引導）

師：P，B1，A2，B2這四點有什么特征嗎？或者說，他們之間有什么聯系？ （4分鐘后）

生4：P，B1，A，B2，四點共圓，并且AP和B1B2分別是這個圓的兩條不同直徑（如圖4）.于是又轉化為只需證明以下結論：AB是圓M的任意一條直徑，Ⅳ為平面上一定點（如圖5），則|NA|2+ |NB|2為定值.

師：能證明嗎？（3分鐘后）

生4：利用向量可以證明，因為NA+ NB= 2MN，NA - NB= AB，兩式平方和可得到|NA|2+ |NB|2=4|MN|2 +|AB|2（為定值）.因此在圖4中因為P，B1，A，B2四點共圓，且AP及B1B2分別是的兩條不同直徑，O為定點，|OA|2 +|OP|2=|OB1|2 +|OB2|2，所以原題就很容易解決（如圖6）：

因為|OA|2= |OB1|2+|OB2|2-|OP|2= 25-|OP|2，由1<|OP|<2.

所以|OA|的取值范圍為（√21，2√6）.

至此下課時間到了，學生們還沉浸在發現的喜悅中，意猶未盡，筆者趁熱打鐵，提出下面兩個問題當做課后作業：

1.（2017年高考浙江卷·理15）已知向量a，6滿足|a|=1，|b|=2，則a+bl+|a-b|的最小值是____，最大值是____.

2.（2016年高考浙江卷·理6改編）已知平面向量a，b滿足|a|=√3/4：b=e1+ λe2（λ∈R），其中e1，e2為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量a，b恒有|a-b|≥√3/4，則e1，e2夾角的最小值為（ ）

A.π/6

B.π/3

C. 2π/3

D. 5π/6

課后大家熱情高漲，通過批改作業發現這兩題的解法非常之多，對“向量”這一節內容真正做到了靈活運用.

葉圣陶先生曾經說過：“要讓課堂活起來”，當課堂上遇到學生的突然發問，這些發問不一定是我們在備課中能預料到的，有的甚至是些稀奇古怪的問題，怎么辦？本節課教師把學生的問題還給學生解決，調動了學生的探究興趣，體現了對學生的尊重，使課堂鮮活生動.

數學教學活動的過程應當是學生“做中學”、“悟中學”的過程，學生在課堂的突然發問，恰恰說明了學生思維的活躍，往往是課堂的閃光之處，如果充分利用這些突然發問，引導學生通過自己討論把問題解決掉，可以為教師處理教學爭取一點時間，還會把學生的思維引向深入，另外，當堂解決問題，也是對學生的發展負責.

王尚志教授指出：“數學核心素養不能離開數學的學習、應用、創新…它們綜合體現在‘發現與提出問題、分析與解決問題的過程中，”課堂中，教師應及時捕捉學生思維的火花，給他們提供適當的舞臺，創新的見解就會源源不斷地涌現出來.