核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要注重過(guò)程——以“基本不等式”教學(xué)為例

江蘇省阜寧縣東溝中學(xué) 張仁東

“核心素養(yǎng)是最關(guān)鍵、最核心、最不可或缺的素養(yǎng)”，這是來(lái)自余文森教授多年的教學(xué)感悟。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，核心素養(yǎng)由知識(shí)、能力和品質(zhì)這三方面組成，而培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過(guò)程則貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)，優(yōu)化教學(xué)方式、改善教學(xué)方法、強(qiáng)化教學(xué)實(shí)踐，都是行之有效的手段。對(duì)此，我以“基本不等式教學(xué)”為例，思考核心素養(yǎng)培養(yǎng)方法。

一、挖掘歷史，揭示起源

核心素養(yǎng)教學(xué)的根本在于探本溯源。古語(yǔ)云：知其然更知其所以然。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)更應(yīng)該如此，不僅需要掌握最基本的概念及公式，還需要對(duì)其起源有一定的認(rèn)識(shí)，尤其是在課堂的導(dǎo)入環(huán)節(jié)上，利用數(shù)學(xué)歷史，不僅可以活化課堂氛圍，更可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶。

基本不等式的原型最早是由畢達(dá)哥斯拉學(xué)派提出的算術(shù)中項(xiàng)及幾何中項(xiàng)演變而來(lái)。早在公元前6世紀(jì)，該學(xué)派在《論音樂(lè)》中定義出了算術(shù)中項(xiàng)和幾何中項(xiàng)的概念。算術(shù)中項(xiàng)類(lèi)似于中位數(shù)的概念，即兩個(gè)正數(shù)a、b，其算術(shù)中項(xiàng)即是幾何中項(xiàng)則類(lèi)似于比例中項(xiàng)，同樣對(duì)于正數(shù)a、b，其幾何中項(xiàng)則是 。同樣的概念，在現(xiàn)今數(shù)列知識(shí)中的說(shuō)法則分別是等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)。雖然它們的表述形式不一樣，但卻有著相同的本質(zhì)。現(xiàn)如今，為了統(tǒng)一它們的稱(chēng)呼，我們將其分別稱(chēng)為a、b的算術(shù)平均數(shù)及幾何平均數(shù)。

挖掘數(shù)學(xué)歷史的目的是揭示各知識(shí)點(diǎn)的起源、發(fā)展和聯(lián)系，豐富學(xué)生的歷史知識(shí)，拓寬學(xué)生思維，誘發(fā)學(xué)生的求知欲。從基本不等式原型的發(fā)展歷程可以看出知識(shí)的遞進(jìn)性和反復(fù)性，鞏固了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的核心素養(yǎng)。

二、問(wèn)題引導(dǎo)，自主探究

核心素養(yǎng)教學(xué)的關(guān)鍵就是自主性，是學(xué)生要學(xué)，而不是在別人敦促下的要我學(xué)。在不等式章節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生的自主性主要體現(xiàn)在基本不等式的推導(dǎo)并掌握其結(jié)構(gòu)特征。對(duì)此，我們不妨通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的設(shè)置，將探究的過(guò)程交由學(xué)生自主實(shí)現(xiàn)。通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)的方式，指導(dǎo)學(xué)生一步步推導(dǎo)出基本不等式的形式及證明過(guò)程，深化學(xué)生理解。

例1：如圖所示，圖中四個(gè)三角形都是直角三角形，且直角邊分別為a、b。（1）請(qǐng)同學(xué)們嘗試用a、b來(lái)表示四個(gè)三角形的面積和S1及正方形的面積S2；（2）試問(wèn)S1與S2的大小關(guān)系；（3）S1與S2是否相等？相等的條件又是什么？（4）若將（3）中得到的關(guān)系式中的a、b分別用來(lái)替代，又會(huì)得到怎樣的關(guān)系式呢？

解析：結(jié)合上圖圖形，很容易得到B圖中的四個(gè)三角形的面積和S1=2ab，正方形的面積為，即是問(wèn)題（1）的答案。對(duì)于問(wèn)題（2），由于B圖中有空白部分存在，顯然有S1≤S2。對(duì)于問(wèn)題（3），S1與S2存在可能相等的情況，即空白部分的面積為零。此時(shí)的直角三角形都是等腰直角三角形，即兩直角邊a、b相等，同時(shí)也進(jìn)一步驗(yàn)證了問(wèn)題（2）的結(jié)論S1≤S2，即。對(duì)于第4個(gè)問(wèn)題，按照提示進(jìn)行變換后，又可以得到一個(gè)新的關(guān)系式，即，這是基本不等式的又一表達(dá)形式。

在學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)中，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，也可以實(shí)現(xiàn)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)變式教學(xué)與訓(xùn)練。

三、實(shí)踐操作，應(yīng)用新知

檢驗(yàn)與訓(xùn)練學(xué)生核心素養(yǎng)的有效手段就是實(shí)踐操作，拿出一些基本不等式的訓(xùn)練題，在實(shí)際解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)新知的應(yīng)用。在社會(huì)上，核心素養(yǎng)就是學(xué)生適應(yīng)社會(huì)；在學(xué)習(xí)上，核心素養(yǎng)就是學(xué)生適應(yīng)訓(xùn)練，能夠利用已有基本不等式的概念性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)靈活求解。

解析：看到欲求證的表達(dá)式的形式，必然難以直接利用基本不等式的公式求解，于是先進(jìn)行簡(jiǎn)化。利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到此時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)，有同理可得由于a，b，c為三個(gè)不全部相等的未知數(shù)，故上述三不等式中的等于條件不可能同時(shí)滿(mǎn)足。綜合上述條件后，將其代回原關(guān)系式，即可得成立，故欲求證的內(nèi)容也成立。

本題屬于一道基本不等式的證明應(yīng)用題，對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也進(jìn)行了考查。鑒于本題的基礎(chǔ)性，通常將其選為隨堂訓(xùn)練題，在基本不等式講解完成后，即刻拋出這樣的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)基本不等式的理解。核心素養(yǎng)不僅需要培養(yǎng)，更需要檢驗(yàn)，需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)核心素養(yǎng)的重要性，尤其是在實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練，深入淺出地解釋了基本不等式的性質(zhì)。

總之，核心素養(yǎng)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，但培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑絕不止本文所提到的這些，對(duì)不等式問(wèn)題的梳理、拓展、小結(jié)都是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑。誠(chéng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)沒(méi)有絕對(duì)有效的教學(xué)方法，但學(xué)生的核心素養(yǎng)教學(xué)絕對(duì)是永恒的教學(xué)目標(biāo)。