巧設直線，妙解方程

■劉金金

我們在解答直線問題時，若能通過巧設直線，則可以簡化運算，妙解方程。下面分門別類地介紹一下，希望對同學們的學習能有所幫助。

一、斜率問題

當直線l與x軸不垂直時，此時直線的斜率存在，可設直線l的方程為y=kx+b或y-y0=k(x-x0)(其中k為直線l的斜率);當不能確定直線l的斜率是否存在時，可設直線l的方程為x=my+n或x-x0=m(y-y0)。

例1經過兩直線l1∶x-3y-5=0與l2∶4x+3y-5=0的交點，且和點A(-2，1)的距離為4的直線l的方程為

由{x-3y-5=0，解得4x+3y-5=0，{x =2， 可知直線l過點B(2，-1)。設直y=-1，線l的方程為x-2=m(y+1)，得x-my-2-m=0，由點A(-2，1)到直線l的距離為4，可得，解得m=0或所以直線l的方程為x-2=0或3x-4y-10=0。

利用直線的點斜式或斜截式方程時，一定要分析其斜率是否存在。當斜率不為零時，往往不設直線的點斜式或斜截式方程，而直接設為x=my+n或x-x0=m(y-y0)，這樣可以避免斜率存在性的討論。

二、截距問題

用直線的斜截式方程往往可以直接確定直線與x軸和y軸的交點坐標，或解決與截距有關的問題，或解決直線與坐標軸圍成的三角形面積、周長問題等。但以下兩種情況不能使用斜截式方程，一是當直線與坐標軸平行時，有一個截距不存在;二是當直線通過原點時，兩個截距均為零。所以大家在解決問題的過程中一定要注意分類討論。

例2 求過點A(4，2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的3倍的直線l的方程。

①當直線l過原點時，它在x軸、y軸上的截距都是0，滿足題意，此時直線的斜率為，直線方程為

如果題目中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反數”“截距的絕對值相等”，或“直線在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m＞0)”等條件時，可采用直線的斜截式方程求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況。

三、平行問題

當所求直線與已知直線平行時，可根據斜率相等設出所求直線的點斜式方程。而在實際求解過程中，可巧妙設出平行直線系方程來求解，具體方法是∶設平行于已知直線Ax+By+C=0(A，B不同時為零)的直線系方程為Ax+By+D=0(D是參數，D≠C)。

例3已知直線l與直線2x-3y=6平行，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，則直線l的方程為

解答此類問題時，可直接設出對應的平行直線系方程，結合直線在兩坐標軸上的截距的求解來建立關系式，進而確定參數值，求得相應的直線方程。巧設平行直線系方程，能直接抓住兩直線平行的特點，結合相關條件加以分析求解，顯得更為簡單快捷。

四、垂直問題

當所求直線與已知直線垂直時，可先根據斜率關系設出所求直線的點斜式方程，再去求解。而在實際求解過程中，可巧妙設出垂直直線系方程，具體方法是∶設垂直于已知直線Ax+By+C=0(A，B不同時為零)的直線系方程為Bx-Ay+E=0(E是參數)。

例4已知直線l的方程為2x-3y-6=0，求滿足下列條件的直線l'的方程∶

(1)過點P(-1，2)，且與直線l平行。

(2)過點P(-1，2)，且與直線l垂直。

(1)由直線l'與l平行，可設直線l'的方程為2x-3y+m=0，將點P(-1，2)代入上述方程，解得m=8，故直線l'的方程為2x-3y+8=0。

(2)由直線l'與l垂直，可設直線l'的方程為3x+2y+n=0，將點P(-1，2)代入上述方程，解得n=-1，故直線l'的方程為3x+2y-1=0。

解答這類問題的常規方法是先根據兩直線平行或垂直的關系確定所求直線的斜率，再利用點斜式方程來求解，解題過程相對比較復雜。而巧設平行或垂直直線系方程，能直接抓住兩直線平行或垂直的特點，結合相關條件加以分析求解，顯得更為有效快捷。

五、交點問題

當所求直線過兩條已知直線的交點時，先求出交點，再去求解方程。而在實際求解過程中，可巧妙設出交點的直線系方程，具體方法是∶設過兩條已知直線l1∶A1x+B1y+C1=0和l2∶A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ是參數，當λ=0時，方程變為A1x+B1y+C1=0，恰好表示直線l1;當λ≠0時，方程表示過直線l1和l2的交點，但不含直線l1和l2的任一條直線)。

例5已知三角形三邊所在的直線方程分別為∶2x-y+4=0，x+y-7=0，2x-7y-14=0，則邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為

設邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為2x-7y-14+λ(x+y-7)=0，即(2+λ)x+(λ-7)y-(14+7λ)=0，而其與直線2x-y+4=0垂直，故有(2+λ)×2+(λ-7)×(-1)=0，解得λ=-11。故邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為x+2y-7=0。

解答這類問題的常見方法是先求出直線x+y-7=0和直線2x-7y-14=0的交點，再根據所求直線與直線2x-y+4=0垂直來求解。而直接設出交點的直線系方程，可以大大簡化求解兩直線交點時的運算問題。

六、定點問題

當所求直線過定點時，可根據斜率的存在情況分類去求解直線方程。而在實際求解過程中，可巧妙設出定點的直線系方程，具體方法是∶設過定點P(x0，y0)的直線系方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0。

例6 求過點A(-4，2)且與x軸的交點到點P(1，0)的距離為3的直線方程。

設所求直線方程為A(x+4)+B(y-2)=0，則其與x軸的交點為Q，由 |PQ|=解得或，即B=A或B=4A，代入所設直線方程并整理，即得所求的直線方程為x+y+2=0或x+4y-4=0。

巧設定點的直線系方程，可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，避免分類討論，有效防止出現漏解或錯解的現象。