聚焦圓系方程在解題中的應(yīng)用

■羅文軍

具有某種共同性質(zhì)的圓的集合叫作圓系，它的方程叫作圓系方程。在解圓的有關(guān)問題時(shí)，利用圓系知識(shí)來求解，往往簡潔明快，事半功倍。本文巧用圓系方程解決了一些與圓有關(guān)的題目，令人耳目一新，現(xiàn)介紹如下，以供參考。

一、過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程

經(jīng)過直線l∶Ax+By+C=0與圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，當(dāng)λ=0時(shí)表示圓C。

例1求經(jīng)過直線x+2y-1=0與圓x2+y2+2x+8y-8=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為8的圓的方程。

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x+8y-8+λ(x+2y-1)=0，即x2+y2+(2+λ)x+(8+2λ)y-8-λ=0。令y=0，得x2+(2+λ)x-8-λ=0，所以圓在x軸上的兩個(gè)截距之和為-2-λ。令x=0，得y2+(8+2λ)y-8-λ=0，所以圓在y軸上的兩個(gè)截距之和為-8-2λ。由題意得-2-λ-8-2λ=8，解得λ=-6。故所求圓的方程為x2+y2-4x-4y-2=0。

評(píng)注:利用圓系方程求解，突出了過交點(diǎn)的圓隨λ變化而變化的動(dòng)態(tài)過程，并且大大簡化了煩瑣的計(jì)算過程。

變式訓(xùn)練1：求經(jīng)過直線l∶2x+y+4=0與圓C∶x2+y2+2x-4y+1=0的兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。

二、過圓與圓的交點(diǎn)的圓系方程

經(jīng)過圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1＞0)與圓 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2＞0)的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0。

例2求經(jīng)過點(diǎn)M(2，-2)及圓∶x2+y2-6x=0與圓∶x2+y2=4交點(diǎn)的圓的方程。

設(shè)所求圓的方程為x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-6x-4λ=0，將點(diǎn)M(2，-2)代入上式，得4(1+λ)+4(1+λ)-12-4λ=0，解得λ=1，故所求圓的方程為x2+y2-3x-2=0。

評(píng)注:先利用經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，再利用待定系數(shù)法求解。

變式訓(xùn)練2：已知圓C1∶x2+y2=4，圓C2∶x2+y2-2x-4y+4=0，直線l∶x+2y=0，求經(jīng)過圓C1與圓C2的交點(diǎn)且和直線l相切的圓的方程。

三、半徑相等的圓系方程

半徑相等的圓系方程為(x-a)2+(yb)2=r2，其中r為常數(shù)，a，b為參數(shù)。

例3已知圓C與直線y=x+5和y=x-7均相切，且過點(diǎn)(2，1)，則圓C的方程為

評(píng)注:先由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出兩平行線間的距離，從而得出圓的直徑;再得出所求圓心的軌跡方程;最后設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)待定系數(shù)法求解。

變式訓(xùn)練3：已知圓C與直線y=x-均相切，且過點(diǎn)則圓C的方程為

四、同心圓系方程

與圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F1=0。

例4求與圓x2+y2-4x+6y-3=0同心，且過點(diǎn)(-1，1)的圓的方程。

設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x+6y+m=0，將點(diǎn)(-1，1)代入上述方程，可得m=-12。故所求圓的方程為x2+y2-4x+6y-12=0。

評(píng)注:先設(shè)出與已知圓同心的圓的方程，再代入所求圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出其中的參數(shù)值即可得到所求圓的方程。

變式訓(xùn)練4：求與圓x2+y2-2x+10y+25=0同心，且過點(diǎn)(2，2)的圓的方程。

五、過給定兩點(diǎn)的圓系方程

經(jīng)過點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的圓系方程為(x-x1)(x-x2)+

例5求經(jīng)過點(diǎn)A(4，2)，B(-1，3)且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程。設(shè)所求圓的方程為(x-4)(x+1)+(y-2)(y-3)+0。令y=0，整理可得5x2-(15+λ)x+10+14λ=0，此時(shí)圓在x軸上的截距之和為x1+。令x=0，整理可得5y2-5(5+λ)y+10+14λ=0，此時(shí)圓在y軸上的截距之和為y1+y2=5+λ。由題設(shè)可知x1+x2+y1+y2=，解得λ=-5。故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0。

評(píng)注:先根據(jù)經(jīng)過給定兩點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，再根據(jù)韋達(dá)定理分別計(jì)算橫軸上的截距之和與縱軸上的截距之和，計(jì)算出參數(shù)λ的值，從而得出所求圓的方程。

變式訓(xùn)練5：求經(jīng)過A(3，6)，B(2，5)兩點(diǎn)，且與直線4x-3y+6=0相切的圓的方程。

六、過已知直線與圓或圓與圓切點(diǎn)的圓系方程

經(jīng)過圓C與圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D21+E21-4F1＞0)的切點(diǎn)N(x0，y0)的圓系方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)=0。經(jīng)過圓C與直線l∶Ax+By+C=0的切點(diǎn)N(x0，y0)的圓系方程為 (x-x0)2+(yy0)2+λ(Ax+By+C)=0。

例6一圓與直線3x+4y+5=0相切于點(diǎn)(1，-2)，且過點(diǎn)(4，7)，求該圓的方程。

過切點(diǎn)(1，-2)的圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=0。設(shè)過直線3x+4y+5=0和點(diǎn)(1，-2)的圓系方程為(x-1)2+(y+2)2+λ(3x+4y+5)=0，將點(diǎn)(4，7)代入上述方程，解得λ=-2。故所求圓的方程為x2+y2-8x-4y-5=0。

評(píng)注:切點(diǎn)(1，-2)可以看成半徑為0的圓(即點(diǎn)圓)，直線3x+4y+5=0可看成通過該圓的直線，基于這種極端的想法，此題可以跳出設(shè)圓的方程的一般方法，利用圓系方程求解，更簡單便捷。

變式訓(xùn)練6：求經(jīng)過點(diǎn)M(3，-1)且與圓C∶x2+y2+2x-6y+5=0相切于點(diǎn)N(1，2)的圓的方程。

變式訓(xùn)練參考答案

1.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0。該圓的半徑為，所以當(dāng)時(shí)，半徑r最小，即此圓的面積最小。將代入圓系方程，得所求圓的方程為

2.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0，其圓心坐標(biāo)為半 徑 為，依 題意可得解 得λ=1(λ=-1不合題意，舍去)。故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0。

4.提示∶設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+10y+m=0，因?yàn)樗髨A過點(diǎn)(2，2)，故將此點(diǎn)坐標(biāo)代入上述方程，可得m=-24。故所求圓的方程為x2+y2-2x+10y-24=0。

5.提示∶設(shè)所求圓的方程為(x-3)(x-2)+(y-6)(y-5)+整理可得x2+y2-(λ+5)x+(λ-11)y+36-3λ=0，可知圓心坐標(biāo)為半徑為由點(diǎn)到直線的距離公式可得整理得(λ+7)2=0，解得λ=-7。故所求圓的方程為x2+y2+2x-18y+57=0。

6.提示∶設(shè)過切點(diǎn)N(1，2)的圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=0，則所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0，將點(diǎn)M(3，-1)代入上述方程，解得。故所求圓的方程為