聚焦直線與圓的位置關(guān)系問題

■夏曉靜

本文聚焦直線與圓的位置關(guān)系的典型問題，希望對大家的學習有所幫助。

一、直線與圓位置關(guān)系的判斷

直線與圓的位置關(guān)系有三種∶相交，相切，相離。

例1已知圓C∶x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0和直線l∶x+y-2a+1=0。

(1)若圓C與直線l相切，求實數(shù)a的值。

(2)若圓C與直線l相交，求實數(shù)a的取值范圍。

(3)若圓C與直線l相離，求實數(shù)a的取值范圍。

解：圓方程可化為(x-a)2+(y+1)2=a，所以圓心C(a，-1)，半徑且a＞0。

因為a＞0，所以a=2。

因為a＞0，所以a∈(2，+∞)。

方法點評:對于直線與圓位置關(guān)系的判斷問題，通常選擇幾何法求解。若給出的圓的一般方程中含有參數(shù)，要注意先求出參數(shù)的取值范圍，以防止出現(xiàn)增解。

二、直線與圓的相交問題

直線與圓的相交問題，一般涉及有關(guān)交點坐標、弦長、割線方程等問題。

例2已知圓C∶x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0。

(1)證明∶不論k取何值，直線和圓總有兩個不同的交點。

(2)求當k取什么值時，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長。

解：(1)圓方程可化為(x-3)2+(y-4)2=4。

由直線方程化為k(x-4)+3-y=0，可知直線過定點P(4，3)，易知定點P(4，3)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，即直線與圓有兩個交點。

方法點評:解題時，抓住圓的幾何性質(zhì)可以避免復雜的代數(shù)運算，這是由圓的特殊性所決定的，體現(xiàn)了圓的對稱性的魅力。

三、直線與圓的相離問題

直線與圓的位置關(guān)系中，相離問題最復雜，最難求。

例3已知圓M∶x2+y2-4x-8y+4=0與x軸相切，若點P是直線3x+4y+8=0上的動點，過點P作直線PA，PB與圓M相切，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值。

解：由題意可得圓M的方程為(x-2)2+(y-4)2=16，則S四邊形PAMB=2S△PBM=

因為PM的最小值等于點M到直線3x+4y+8=0的距離，所以PMmin=6，由此可得(S四邊形PAMB)min，即四邊形PAMB面積的最小值為

方法點評:對于題中的特征四邊形PAMB，還可以涉及切線長最短、周長最小、張角最大等問題，這些都可以利用圓心到直線的距離問題來解決。