小議直線的截距問題

■張金娥

直線的截距有橫截距和縱截距，橫截距是直線與x軸交點的橫坐標，縱截距是直線與y軸交點的縱坐標。截距不同于日常生活中的距離，截距是一個點的橫(縱)坐標，是一個實數，可以是正數，也可以是負數，還可以是零。

題型一：截距相等的問題

例1過點M(3，-4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為

解：①若直線過原點，則，所以，即4x+3y=0。②若直線不過原點，設直線方程為1，即x+y=a，則a=3+(-4)=-1，所以直線方程為x+y+1=0。

綜上可得，滿足條件的直線方程為4x+3y=0或x+y+1=0。

評析:若忽視直線過原點(即直線在坐標軸上的截距為0)，則容易產生漏解。

題型二：截距之和為0的問題

例2求過點A(4，2)且在兩坐標軸上截距互為相反數的直線l的方程。

解：①當直線過原點時，直線方程為y=，即x-2y=0。②當直線不過原點時，由題意可設直線方程為，因為直線過點A(4，2)，所以，即a=2，則xy=2。

綜上可知，所求直線l的方程為x-2y=0或x-y=2。

評析:解答本題的關鍵是不能忽視直線過原點的情況。

題型三：截距成倍數的問題

例3已知直線l過點A(4，2)且在x軸上的截距是在y軸上的截距的3倍，求直線l的方程。

解：①當直線過原點時，直線方程為，即x-2y=0。②當直線不過原點時，由題意可設直線方程為，因為直線過點A(4，2)，所以1，解得可得直線方程為x+3y-10=0。

綜上可知，所求直線l的方程為x-2y=0或x+3y-10=0。

評析:直線方程的截距式不包括垂直于坐標軸和過原點的直線。

題型四：截距之和是定值的問題

例4求過點A(4，2)且在兩坐標軸上的截距之和為12的直線l的方程。

解：設直線l的方程為b≠0)。由題意可得

由①得4b+2a=ab，由②得b=12-a，所以4(12-a)+2a=a(12-a)，即a2-14a+48=0，解得a=6或a=8，所以

故所求直線l的方程為x+y-6=0或x+2y-2=0。

評析:如果題中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距的絕對值相等”“截距互為相反數”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m＞0)”等條件時，可采用截距式求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況。