淺談建模思想在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

◎王 建

(煙臺(tái)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第二初級(jí)中學(xué)，山東 煙臺(tái) 264000)

初中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出“數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語(yǔ)言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)……”從以上敘述中，我們可以了解到數(shù)學(xué)模型的重要性，數(shù)學(xué)建模是初中教學(xué)中的重要任務(wù)之一，它是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力的有效途徑和強(qiáng)有力的教學(xué)手段.它把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉抽象為數(shù)學(xué)模型，從而來(lái)解答現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

一、數(shù)學(xué)建模一般包括以下幾個(gè)步驟

1.模型準(zhǔn)備階段：明確建模的目的、弄清問(wèn)題的特征.

2.模型假設(shè)階段：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，提出假說(shuō)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并且用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述.

3.模型建立階段：根據(jù)假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫(huà)各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

4.模型求解階段：根據(jù)采用的數(shù)學(xué)工具，對(duì)模型求解.包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、討論等.

5.模型分析階段：對(duì)模型求解的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析.

6.模型檢驗(yàn)階段：用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯?shí)用性，即驗(yàn)證模型的正確性.

二、建模活動(dòng)分析

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁.建立數(shù)學(xué)模型是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)單化和實(shí)際化，抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程.要通過(guò)調(diào)查收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究對(duì)象固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問(wèn)題.

由于教育教學(xué)的對(duì)象是初中生，總體上看掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)還很少，數(shù)學(xué)能力還較低，教師應(yīng)充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，明確學(xué)生是建模活動(dòng)的主體，教師起組織引領(lǐng)作用.對(duì)于教材中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)建模思想，我們必須深入挖掘教材，尊重教材但不照搬教材.教材中知識(shí)內(nèi)容是開(kāi)展建模的載體，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)是教學(xué)活動(dòng)的目標(biāo).初中課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是模仿科學(xué)研究意義上數(shù)學(xué)建模過(guò)程，為今后應(yīng)用數(shù)學(xué)奠定思想和方法基礎(chǔ).

三、建立模型

這一階段是真正地把實(shí)際問(wèn)題利用建模的思想轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想：以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以學(xué)生為中心，以問(wèn)題為主線，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)組織教學(xué).這個(gè)階段要調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，尋求面對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)解決策略，要注意以下幾點(diǎn)：從教材原有的問(wèn)題出發(fā)，注重一題多變；從實(shí)際中的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，增強(qiáng)建模意識(shí)；從所需關(guān)注的問(wèn)題出發(fā)講解建模方法；通過(guò)游戲中的數(shù)學(xué)，從中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力.實(shí)施策略的教學(xué)程序?yàn)椋?1)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)求知欲；(2)逐步概括，建立數(shù)學(xué)模型；(3)分析模型，猜想數(shù)學(xué)知識(shí)；(4)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)知識(shí)；(5)歸納總結(jié)，升華數(shù)學(xué)知識(shí).

四、初中常見(jiàn)數(shù)學(xué)建模舉例

在初中階段，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型有下面幾個(gè)：建立方程(組)模型、建立不等式(組)模型、建立直角坐標(biāo)系、建立函數(shù)模型、統(tǒng)計(jì)型問(wèn)題、建立三角模型、建立幾何模型.在初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，應(yīng)以教材為載體，以改革教學(xué)方法為突破口，通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、在用中學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，下面以?xún)蓚€(gè)例子為載體來(lái)說(shuō)明.

1.建立方程模型.數(shù)學(xué)中有一些問(wèn)題，用常規(guī)方法不可解，但是適當(dāng)構(gòu)造方程或方程組，利用方程的知識(shí)就比較容易解決.

例題1 某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種服裝，平均每天可售出20件，每件贏利40元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，平均每天能多售出2件.在國(guó)慶節(jié)期間，商場(chǎng)決定采取降價(jià)促銷(xiāo)的措施，以達(dá)到減少庫(kù)存、擴(kuò)大銷(xiāo)售量的目的.如果銷(xiāo)售這種服裝每天贏利1 200元，那么每件服裝應(yīng)降價(jià)多少元?

解析本題的主要數(shù)量關(guān)系是：每件服裝的贏利×每天銷(xiāo)售的服裝件數(shù)=1 200元.設(shè)每件服裝降價(jià)x元，則每件服裝的贏利為(40-x)元，每天銷(xiāo)售的服裝為(20+2x)件，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的解：(40-x)(20+2x)=1 200.

解得x1=10(舍去)，x2=20.

故每件服裝應(yīng)降價(jià)20元.

2.建立函數(shù)模型.有些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從中找到作為自變量和因變量的因數(shù)，這一數(shù)學(xué)問(wèn)題可以表示為自變量的函數(shù)，這時(shí)可構(gòu)造函數(shù)模型，通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)與關(guān)系的研究，使問(wèn)題得到解決.

例題2 在學(xué)習(xí)不等式的應(yīng)用時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)手機(jī)收費(fèi)比較感興趣，于是設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：小周購(gòu)買(mǎi)了一部手機(jī)想入網(wǎng)，朋友小王介紹他加入中國(guó)聯(lián)通130網(wǎng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：月租費(fèi)15元，每月來(lái)電顯示費(fèi)6元，本地電話費(fèi)每分鐘0.2元.朋友小李向他推薦中國(guó)移動(dòng)的“神州行”卡，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：本地電話每分鐘0.4元，月租費(fèi)和來(lái)電顯示費(fèi)全免了，小周的親戚朋友都在本地，他想擁有來(lái)電顯示服務(wù)，請(qǐng)問(wèn)該選擇哪一家更為省錢(qián)?

簡(jiǎn)析設(shè)小周每月通話時(shí)間x分鐘，每月話費(fèi)為y元.

則y1=15+6+0.2x=21+0.2x，y2=0.4x，

所以0.2x+21=0.4x，x=105分.

當(dāng)x=105分鐘時(shí)，y1=y2，可選擇任何一家；

當(dāng)x>105分鐘時(shí)，y1

當(dāng)x<105分鐘時(shí)，y1>y2，應(yīng)選擇中國(guó)移動(dòng)的“神州行”卡.

五、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的重要意義

現(xiàn)代教育家認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是提高公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成和發(fā)展那些具有數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的智力活動(dòng)結(jié)構(gòu)，并且促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用；同時(shí)，又把數(shù)學(xué)教學(xué)看作是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，而數(shù)學(xué)建模就是這樣一種既能創(chuàng)設(shè)情境來(lái)完成教學(xué)任務(wù)又能促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用的特別活躍的數(shù)學(xué)活動(dòng).

數(shù)學(xué)建模不僅可以使數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單，還在一定程度上能激發(fā)學(xué)生的思維，建模思想讓越來(lái)越多的學(xué)生愛(ài)上了數(shù)學(xué).