以簡(jiǎn)馭繁，簡(jiǎn)中有道

蔣智東

解析幾何，顧名思義，即用代數(shù)的方法解析幾何問(wèn)題，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)大致分成三個(gè)階段，我們?cè)诟咭浑A段的《必修2》中學(xué)習(xí)的“平面解析幾何初步”是第一階段.

同時(shí)，直線和圓可以用方程表示（從形到數(shù)）;通過(guò)方程，我們研究了直線間的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等（用數(shù)研究形）.這些處理問(wèn)題的方法的共性是都需要把幾何問(wèn)題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決有關(guān)問(wèn)題.

我們突出用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題;第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.這與初中階段我們直接借助幾何圖形來(lái)研究其形狀、大小、位置關(guān)系不同.實(shí)際上我們是在用代數(shù)方法研究平面幾何問(wèn)題，另一方面，用代數(shù)方法研究問(wèn)題也不是全新的、沒(méi)見(jiàn)過(guò)的，初中已經(jīng)將點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是沒(méi)有系統(tǒng)地接觸解析幾何的思想方法罷了.在這里體現(xiàn)了初高中在知識(shí)上的銜接.

對(duì)于把幾何問(wèn)題代數(shù)化，同一個(gè)問(wèn)題也可以從不同的角度去認(rèn)識(shí)，例如：通過(guò)直線和圓的方程怎樣判斷它們的位置關(guān)系？我們總結(jié)出兩種判斷方法：

從幾何角度來(lái)看，圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系刻畫(huà)直線與圓的位置關(guān)系;這樣把幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為距離的代數(shù)計(jì)算;

從方程觀點(diǎn)來(lái)看，利用直線與圓的方程組是否有解研究曲線間的位置關(guān)系.

本質(zhì)上說(shuō)，兩種方法都是用坐標(biāo)法解決問(wèn)題，

我們認(rèn)為兩種方法無(wú)所謂優(yōu)劣，強(qiáng)調(diào)在掌握共性（方程的方法）的基礎(chǔ)上注意個(gè)性（圓心距與半徑的關(guān)系）.前者更好地挖掘了圓特有的幾何特征，簡(jiǎn)化了代數(shù)運(yùn)算，比聯(lián)立方程組的方法快捷，可以看出用解析法解幾何題時(shí)，對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征的不同挖掘，轉(zhuǎn)化的代數(shù)形式不盡相同，帶來(lái)的解法是互異的，這在同學(xué)們后續(xù)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更明顯，聯(lián)立方程組的解法有著很好的認(rèn)知基礎(chǔ)和可持續(xù)發(fā)展性.大家可以根據(jù)求兩條直線交點(diǎn)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，想到判斷直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可以通過(guò)研究方程組的解來(lái)解決.把形的問(wèn)題（求直線和圓的交點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為方程組的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題（數(shù)的問(wèn)題）.充分體現(xiàn)了解析幾何中利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想方法，這個(gè)解法又成為后續(xù)研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“通法”.

平面直角坐標(biāo)系的建立，為幾何問(wèn)題的求解帶來(lái)了方便，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中也易于掌握.然而，某些幾何問(wèn)題用純粹的代數(shù)方法來(lái)解決，思路雖簡(jiǎn)單，但運(yùn)算往往相對(duì)較繁，導(dǎo)致很多同學(xué)有思路卻苦于得不到正確答案，或看著繁瑣的式子心生畏懼，不僅浪費(fèi)了大量時(shí)間，還加大了心理壓力，正因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題難在“算到底”，所以注意減少運(yùn)算量則成為迅速、正確解題的關(guān)鍵，

針對(duì)這一問(wèn)題，解決的策略很多，我們可以在解決問(wèn)題中逐漸加以認(rèn)識(shí)和積累.

策略一：建好平面直角坐標(biāo)系

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，即研究數(shù)和形的科學(xué)，而坐標(biāo)系是聯(lián)系數(shù)和形的橋梁，通過(guò)建立坐標(biāo)系，可以把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)問(wèn)題的求解得到幾何問(wèn)題的解.

在用“坐標(biāo)法”解決幾何問(wèn)題時(shí)，理論上平面直角坐標(biāo)系的建立是具有多樣性的，但是有一點(diǎn)是可以肯定的：不同的建系會(huì)使點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)的個(gè)數(shù)呈現(xiàn)差異、直線和圓的方程存在繁簡(jiǎn)之別，而且會(huì)影響到后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算量.在不失一般性的前提下，可以充分利用圖形中的特殊性，比如對(duì)稱(chēng)性、垂直關(guān)系等，或者是充分利用圖形中已知長(zhǎng)度或角度的線段所在直線作為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，就可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

策略二：數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)

數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，體現(xiàn)了初高中銜接.同學(xué)們?cè)诔踔蟹e累掌握了許多直線和圓方面的幾何基礎(chǔ)，這使得我們有了簡(jiǎn)化運(yùn)算的契機(jī).

1.對(duì)幾何對(duì)象關(guān)系的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算.

比如，在落實(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)時(shí)，我們的運(yùn)算對(duì)象是垂直、平分，對(duì)于平分，我們只需將AB的中點(diǎn)坐標(biāo)代人對(duì)稱(chēng)軸l的方程中即可，這只是一次運(yùn)算，否則，用距離公式就是二次運(yùn)算，這樣就簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

2.對(duì)求解對(duì)象的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算.

比如，直線與圓相交產(chǎn)生的弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)，以及它們所對(duì)的圓心角問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化到一個(gè)由半徑、弦心距、半個(gè)弦長(zhǎng)組成的直角三角形中來(lái)求解和研究.由圓外一點(diǎn)向圓所引的切線長(zhǎng)，也可以轉(zhuǎn)化到由這點(diǎn)和圓心、切點(diǎn)組成的直角三角形中求解，在這些問(wèn)題中，借助直角三角形的邊角關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3.對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算，

比如：直線mx+y+2m+1=0與圓O：x₂+y₂=8恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍，

本題的優(yōu)解為直線所過(guò)的定點(diǎn)（-2，-1）在圓上或在圓內(nèi)即可.這就體現(xiàn)和突出了對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，充分利用了直線方程中參數(shù)對(duì)直線特征的作用，強(qiáng)調(diào)作圖，而不是純代數(shù)的推導(dǎo).

還有，角平分線就是角兩邊的對(duì)稱(chēng)軸;圓外一點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)連線段的最值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這點(diǎn)與圓心連線段與半徑的關(guān)系;圓上動(dòng)點(diǎn)與和它相離的一條直線上的動(dòng)點(diǎn)連線段的最值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圓心到這條直線的距離與半徑的關(guān)系;兩條直線將一個(gè)圓四等分，則四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形等等，

對(duì)幾何特征的不同角度的挖掘，轉(zhuǎn)化成的代數(shù)問(wèn)題不同，解決問(wèn)題的難易程度也不同.上述轉(zhuǎn)化都可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，這需要我們?cè)诮忸}時(shí)加以分析體驗(yàn).

幾何要素（確定直線和圓的幾何要素、確定直線與圓位置關(guān)系的幾何要素）以及在幾何要素引導(dǎo)下的代數(shù)變形，最終要回到幾何上，體現(xiàn)對(duì)幾何問(wèn)題的研究，

策略三：設(shè)而不求

設(shè)而不求是指在解題時(shí)，可根據(jù)題意設(shè)出一些輔助元（參數(shù)），在求解的過(guò)程中，不必求出這些輔助元（參數(shù)）的值，僅把它作為橋梁或過(guò)渡元素，巧妙地消去這些輔助元（參數(shù)），達(dá)到降低難度的目的.在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)為優(yōu)化運(yùn)算而常常采用這種方法.

策略四：特殊化思想

把研究對(duì)象特殊化是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段.在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，特殊化方法常常表現(xiàn)為將一般問(wèn)題特殊化處理或從特殊出發(fā)揮索解題方向，以獲得問(wèn)題的解決，它是一種以“退”為“進(jìn)”的解題策略.用問(wèn)題最特殊情形的解來(lái)得到一般問(wèn)題的解，因此在選擇題和填空題等客觀問(wèn)題中一定要特別注意特殊化思想的應(yīng)用.一些定點(diǎn)、定值類(lèi)問(wèn)題常可用特殊化解題，總之，就是從問(wèn)題的簡(jiǎn)單化、特殊化人手解答，尤其是當(dāng)我們解題束手無(wú)策時(shí)一定不能忘了特殊化思想這個(gè)“大救星”.

從形式上看，將一般性問(wèn)題特殊化是不困難的，但某個(gè)一般性問(wèn)題經(jīng)過(guò)不同的特殊化處理會(huì)得到多個(gè)不同的特殊化命題.因此，特殊化思想的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)最佳的特殊化問(wèn)題，因?yàn)椋^為理想的特殊問(wèn)題是極易解決的.

總之，對(duì)于“平面解析幾何初步”中的直線和圓，無(wú)論是其本身的特征，還是它們之間的位置關(guān)系，我們都可以用代數(shù)運(yùn)算的方法來(lái)加以研究落實(shí)，代數(shù)方法（運(yùn)算）是本章的重要方法.上面我們從宏觀上比較籠統(tǒng)地給同學(xué)們提出了一些關(guān)于簡(jiǎn)化運(yùn)算的策略，大家可以在下面的文章中來(lái)具體學(xué)習(xí)體會(huì)這些方法.