借助平面幾何知識簡化計算

袁衛剛

在直線和圓相關問題的處理上，借助直線和圓中的平面幾何知識與結論，可以減少運算量，簡化運算.

1.通過直線和圓的自身特征簡化運算

證明：不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點，

分析 在判斷和落實直線與圓的位置關系時，將直線和圓的方程聯立，通過判別式來判斷是一個途徑，但是計算比較繁瑣，把問題轉化成兩個幾何量——半徑和圓心到直線的距離的大小關系，計算則相對簡捷.如果能夠通過方程挖掘直線幾何方面的特征，則可以起到四兩撥千斤的效果.

點評 此題通過聯立方程組求解運算量非常大，通過計算圓心到直線的距離也需要求關于k的代數式的取值范圍.上述方法來源于我們對直線方程和圖形的認識.

分析 題中幾何語言的理解和轉換是計算的起點，決定著運算路徑的簡捷和運算量的大小.

點評 此題如直接求出點P關于直線x+y-3=0的對稱點，再分別代人直線求解，運算量偏大，就容易出錯.這里利用了圓的對稱性，轉化成直線x+y-3=0過圓心，求出a=-1.

2.利用平面圖形的特征簡化運算

許多平面圖形本身就有很多特征，如果我們有這方面的意識，積極主動地加以挖掘利用，就可以幫助我們節省很多“成本”，簡化運算，提高解題效率，

解析 直現與圓相交，弦心距、半徑、半個弦長組成了一個直角三角形，可以作為解題的切人點.

點評 例3、例4中直角三角形中勾股定理的使用，以及對過定點的直線到另一定點距離的理解，從幾何角度幫助我們大大地減少了計算環節和計算量，

對例3，我們還應注意到，當弦長最短時，它所對應的劣弧長也最短，對應的圓心角也最小;對例4，也能解決兩切線的夾角的最值問題以及直角三角形面積的最小值問題.

3.利用平面幾何的相關定理轉化

初中所學平面幾何知識中有很多定理及推論，這些結論也可以為我們在處理解析幾何問題提供簡捷的解題途徑，幫助我們減少計算環節和計算量.

分析 考慮到A，B兩點都不是定點，因此，不易直接求PA，PB的值.

點評 此題若設出直線方程，再聯立方程組，利用弦長公式求解，運算量較大.若利用圓冪定理進行轉化，運算就非常簡單了.

分析 本題正常思路是得出以OM為直徑的圓的方程，再求出過A（1，0）點且垂直于OM的直線方程，接著與圓方程聯立求得點N的坐標，又題目中有參數t，計算繁雜，導致錯誤率激增.可以有意識地探討平面幾何方面的知識，加以應用，

點評 平面幾何中的有關定理，已經濃縮了許多思考和運算步驟，有效加以運用，自然會起到簡化運算的作用.

由此可見，解析幾何中的運算是不可避免的，但一味去進行一些不合理的運算也是不明智的，這不僅不能提升數學能力，也會對自己的學習失去信心.只有通過各種途徑，把本來只能進行繁瑣的運算的問題，一步步通過轉化，變為較為簡捷的運算問題，才是解決此類問題最有效的策略.