方程選擇對對碰

邵賢虎

周二下午第三節(jié)課，月月數(shù)學(xué)沙龍又準(zhǔn)時(shí)開始了！

師 同學(xué)們，最近我們正在學(xué)習(xí)解析幾何中有關(guān)直線與圓的內(nèi)容，大家也都知道直線方程的五種形式，以及圓的方程的兩種形式，那我們今天就從方程形式的選擇談起，作為我們本次數(shù)學(xué)沙龍的開端. 第一次選擇 兩種通法對對碰 師 請同學(xué)們看下面的一個(gè)基本問題. 已知圓過點(diǎn)A（l，2），B（3，4），且在z軸上截得的弦長為6，求圓的方程.

求圓的方程應(yīng)采用怎樣的基本方法？

生 待定系數(shù)法，

師 那我們應(yīng)該選擇圓的一般方程呢，還是標(biāo)準(zhǔn)方程？

生1 已知條件中給出了圓過兩點(diǎn)，沒有給出圓心坐標(biāo)，我覺得設(shè)圓的一般方程比較好，解決如下：

設(shè)圓的方程為

生2 這道題的條件中有弦長這一條件，所以我覺得選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也完全沒有問題，解決如下：

師兩個(gè)同學(xué)談得都很好！圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程本質(zhì)一樣，但具體解題時(shí)各有所長.圓的一般方程用來解決已知圓上點(diǎn)時(shí)的問題較好，而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則可解決和圓心、半徑以及弦長相關(guān)的問題.

第二次選擇 三種角度比比看

師下面我們再來看一個(gè)直線和圓的位置關(guān)系的問題.

已知直線l：y=kx+I，圓C：（x-1）²+（y+1）=9.

試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).

師 同學(xué)們思考一下，判斷直線和圓的位置關(guān)系有幾種方法？

生 有兩種基本方法：代數(shù)法和幾何法.

師 我們請兩位同學(xué)具體來說說，

生1我喜歡用代數(shù)法，解決如下：

則此方程有兩個(gè)不同的根.

換句話說，就是此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).

生2 因?yàn)閳A是一個(gè)非常完美的幾何圖形，我認(rèn)為用幾何法比較好，能充分挖掘圓的平面幾何性質(zhì)，解決如下：

要證直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為證明圓心到直線的距離小于半徑即可.

所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).

生3我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很簡單的方法：

不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總過定點(diǎn)A（O，l）.

即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點(diǎn)A.

所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)，

師非常好！三個(gè)同學(xué)恰好談了解決直線和圓問題的三個(gè)角度，從解題實(shí)踐來看，運(yùn)用幾何的方法解決直線和圓的問題，直觀而簡潔;如果利用代數(shù)的方法，計(jì)算量較大，但是比較容易理清思路，掌握較為常規(guī)的解題方法;至于第三種角度，則是在綜合了代數(shù)與幾何的方法之后，解題更有技巧，更上一層樓的表現(xiàn)，抓住實(shí)質(zhì)，一擊即中.最后一種解法是不是很難想到呢？其實(shí)也不是，只要畫個(gè)草圖（學(xué)解析幾何的好習(xí)慣），觀察k變化時(shí)直線l：V=kx+l與圓的位置關(guān)系，就不難看透本題的“玄機(jī)”了.

第三次選擇 四種感覺慢慢品

師最后我們來討論直線和圓中一道非常經(jīng)典的問題.

過圓x²+y²=2外一點(diǎn)M（l，-3），作圓的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別是A，B，求直線AB的方程.

生1 我的第一感覺就是求出A，B的坐標(biāo)，解決如下：

切線的斜率不存在時(shí)，其方程為x=l，不滿足題意，

則可設(shè)切線方程為y+3=k（x-1），即kx-y-k-3=0.由兩點(diǎn)式可求得直線AB的方程為x-3y-2=0.

生2生1的方法確實(shí)最容易想到，但是計(jì)算過程繁復(fù)，運(yùn)算量過大，我感覺還可以通過兩個(gè)圓的公共弦方程來得到切點(diǎn)弦方程，解決如下：

生3生2的解法好，而且計(jì)算量少很多，受到他的啟發(fā)，我感覺還可以這樣選擇，如果選擇另外的一個(gè)圓和已知圓相交于點(diǎn)A，B，計(jì)算也很簡單，具體解決如下：

則以M為圓心，MA為半徑的圓的方程為（-x1）²+（y+3）²=8，即x²-2x+y²+6y+2=0.

由x²+y²=2與x²-2x+y²+6y+2=0相減，得兩圓公共弦AB的方程為x3y-2=0.

生4其實(shí)，如果我們平時(shí)對切線方程有所研究的話，完全可以直接寫出MA，MB的方程，然后求解，具體如下：

設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

則切線MA的方程為x_1*+y₁y=2，切線MB的方程為x₂x+y₂y=2.

因?yàn)閮芍本€都過點(diǎn)M（l，-3），所以x₁-3y₁=2且x₂-3y₂=2.

則由過兩點(diǎn)確定一條直線可得，弦AB的方程為x-3y-2=0.

師 以上四位同學(xué)給我們呈現(xiàn)了四種不同的解法，各有特色，生1的解法很樸實(shí)，但往往運(yùn)算量會(huì)很大，同學(xué)們都要掌握;生2和生3的解法本質(zhì)一樣，但選擇的圓不一樣，也就別有一番風(fēng)味;生4的解法體現(xiàn)了他對這部分內(nèi)容最基本、最本質(zhì)的理解，也說明了他平日里對這方面的問題有過深入的探究，從而更進(jìn)一步，解題才能達(dá)到舉重若輕的層次，希望大家向生4學(xué)習(xí).

師我們在解題過程中經(jīng)常面臨選擇，如何選擇合適的解析式，如何選擇合適的方法，如何選擇簡單的算法……平時(shí)我們應(yīng)加強(qiáng)這方面的思考，比較優(yōu)劣，提升能力.今天的沙龍到此結(jié)束，期待下次的到來.