聚焦軌跡中的“隱形圓”問題

何曉勤

近年來，在高考、模考中，經常會出現一類有關圓的問題，此類問題在條件中沒有直接給出有關圓方面的信息，而是隱藏在題目的條件中，需要我們通過分析和轉化，從點的軌跡出發，得到圓或圓的方程，再利用圓的知識去求解，我們把此類問題稱為“隱形圓”的軌跡問題.那么，常見的“隱形圓”的軌跡問題有哪些類型呢？我相信大家在看完下文之后一定能得到滿意的答案.

一、利用圓的定義確定“隱形圓”

例1 如果圓（x-a）²+（y-a）²=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是________.

分析 本題表面上好像是考查距離問題，但仔細分析可知，到原點的距離等于1的點的軌跡是以原點為圓心、半徑為1的圓，于是本問題可轉化為兩圓相交問題去處理.

總結 一般地，如果根據已知條件能推導出動點P到定點C的距離為大于等于0的常數r（即PC=r），則根據圓的定義可知，動點P的軌跡是以C為圓心、r為半徑的圓.

二、利用直徑所對的圓心角等于90。確定“隱形圓”

例2 在平面直角坐標系xOy中，直線l₁：kx-y+2=0與直線l₂：x+ky2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____________.

分析 大家求解本題時的第一想法可能是聯立直線l₁和l₂的方程解出點P，再將點P到直線x-y-4=0的距離轉化為k的函數去求最值，但運算量很大;若仔細分析可知，動直線l₁和l₂分別過定點A和B，且互相垂直，即∠APB=90°，所以點P落在以AB為直徑的圓C上，從而可將問題轉化求圓C上的動點P到定直線x-y-4=0的距離的最值問題處理，

總結 一般地，若有∠APB =90°（即PA⊥PB，或k_PA⊥k_PB），則點P落在以AB為直徑的圓C上， 三、利用動點P到兩定點A，B的距離的平方和為定值確定“隱形圓”

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）²+（y-a+2）²=1，點A（o，2），若圓C上存在點M，滿足MA²+M0²=10，則實數a的取值范圍是_____________.

分析 設出點M的坐標，由MA²+MO²=10可得M的軌跡方程，由軌跡方程可判斷點M的軌跡是圓，從而可將原問題轉化為兩圓有公共點問題處理，

解 設M（x，y），由MA²+M0²=10，A（O，2），得x²+（y-1）²=4，而（x-a）²+（y-a+2）²=1，它們有公共點，則1≤a²+（a-3）²≤9，解得實數a的取值范圍是[0，3].

總結 一般地，若動點P到兩定點A，B的距離的平方和為定值（即PA²+PB²=定值），且點P的軌跡存在，則點P的軌跡為一個圓或一個點.

思考 若A，B，C，…為平面內的定點，動點P滿足PA²+PB²+PC²+…一定值，且點P的軌跡存在，則點P的軌跡是什么？（答案：為一個圓或一個點）

變式 已知A（-1，4），B（2，1），圓C：（xa-a）²+（y-2）²=16，若圓C上存在唯一的點P，使得PA²+2PB²=24成立，則實數a的取值集合為_______.（參考答案：{-5，-1，3，7}）

提示 由PA︽+2PB︽=24同樣可以得出點P的軌跡是一個圓，從而可轉化兩圓是相切的位置關系去處理.